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Gleichung Lösen / Additionstheoreme

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  1. Autor dieses Themas

    myhead

    myhead hat kostenlosen Webspace.

    Hey,

    Ich habe folgende Gleichungen und diese sollen aufgelöst. Ich denke das ganze hat etwas mit Additionstheoremen zu tun aber keine Ahnung wie ich da vorgehen soll.

    1) Formel: 2 \cdot sin^2 (x) + sin^2(2x)  = 2
    2) Formel: cos^3 (x) \cdot sin(3x)  + sin^3(x) \cdot cos(3x) = \frac {3}{4}

    Kennt jemand eine Seite auf der dies gut erklärt ist (nicht so wie in wikipedia^^) und wo es ähnliche Aufgaben mit Lösungen gibt??

    Vielen Dank schon mal :)


    ..werde die gleichungen noch richtig formatieren, sobald ich wieder herausgefunden habe wie das ghet ;)

    Beitrag zuletzt geändert: 12.10.2011 11:05:44 von myhead
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  3. Für Nummer 1) ist lediglich der Menschenverstand nötig:

    Sinus ist periodisch und ist bei
    Formel: x=0 \Rightarrow sin(x) = 0
    Formel: x=\frac{1}{2} \pi  \Rightarrow sin(x) = 1
    Formel: x=\pi  \Rightarrow sin(x) =  0
    ...

    Weil Formel: sin^2(2x) < 2 ist und Formel: | sin^2(x) | = 1  \Rightarrow sin^2(2x) = 0.

    Daher muss Formel: x = \frac{1}{2} \pi + k\pi, k \in \mathbb{Z}

    Beim 2) umformen mit:

    Formel: sin^3(x)=\frac{1}{4}(3sin(x)-sin(3x))
    Formel: cos^3(x)=\frac{1}{4}(cos(3x)+cos(x))

    Dann hast du:

    Formel: \frac{1}{4}(cos(3x)+cos(x))sin(3x)+\frac{1}{4}(3sin(x)-sin(3x))cos(3x) = \frac{3}{4}\\
\Leftrightarrow sin(3x)cos(3x)+3sin(3x)cos(x) + 3sin(x)cos(3x)-sin(3x)cos(3x) = 3\\
\Leftrightarrow 3sin(3x)cos(x)+3sin(x)cos(3x) =3\\
\Leftrightarrow sin(3x)cos(x)+sin(x)cos(3x) =1

    Jetzt folgendes benutzen: Formel: sin(x)cos(y) = \frac{1}{2}(sin(x-y)+sin(x+y))

    Formel: \frac{1}{2}(sin(3x -x)+sin(3x+x)) + \frac{1}{2}(sin(x -3x)+sin(x+3x)) = 1\\
\Leftrightarrow \frac{1}{2}(sin(2x) + sin(4x) + sin(-2x) + sin(4x)) = 1

    Da Formel: sin(-x) = -sin(x) ist:

    Formel: \frac{1}{2}(sin(2x) + 2sin(4x) - sin(2x)) = 1\\
\Leftrightarrow \frac{1}{2}(2sin(4x)) = 1\\
\Leftrightarrow sin(4x) = 1

    somit ist Formel: x=\frac{1}{8}\pi +2 k\pi, k \in \mathbb{Z}

    Img Grunde habe ich nur eine Matheformelsammlung benutzt und mit Cos und Sin gespielt.

    Gruß
    illuxio

    Beitrag zuletzt geändert: 12.10.2011 12:33:52 von illuxio
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