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0, Periode 9 = 1?

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  1. Autor dieses Themas

    homebrewfans

    homebrewfans hat kostenlosen Webspace.

    Hallo,

    ich habe im Internet (weiß nicht mehr wo) einen "Beweis" gefunden, dass 0,Periode9 = 1 ist (ist stelle die Periode einfachmal als P dar):

    x = 0, P9
    10x = 9,P9
    (10-1)x = 9,P9 - x
    9x = 9
    x = 1

    Also 0,P9 = 1?

    Kann das stimmen?
    Was meint ihr dazu?

    homebrewfan
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  3. 1/3 = 0,P3
    3/3 = 0.P9

    Das ist ein Darstellungsproblem im Dezimalsystem.
  4. 10x = 9,P9
    (10-1)x = 9,P9 - x


    Kannst du mir das erläutern? o.O

    Beitrag zuletzt geändert: 22.5.2012 20:37:41 von prinzie
  5. Er wird folgendes meinen:

    Wenn
    (1) a = 0.9P dann gilt (2) 10a = 9.9P


    Dann kann man das ganze subtrahieren...
    Daraus folgt:
    (2)-(1) => 9.9P - 0.9P => 9a = 9

    Und schon...
    1 = a = 0.999.....



    Beitrag zuletzt geändert: 22.5.2012 20:42:07 von adrians
  6. g****e

    0,9periode = 1 ist tatsächlich so. Das haben schon hunderte vor dir festgestellt.
    Beweisen kann man dies spätestens mit einer Reihenentwicklung.
    Versuchs mal so:

    0.9 (periode)
    = lim [n -> inf] sum [i=1 -> n] 9 * 10^-i
    = lim [n -> inf] 9 * 10^(-n-1) (1 + 10^1 + 10^2 + ... + 10^n )
    = lim [n -> inf] 9 * 10^(-n-1) (10^(n+1) - 1)/(10 - 1)
    = lim [n -> inf] 10^(-n-1+n+1) - 10^(-n-1) = 1

    Oder anderes Gedankenspiel:

    3/9 = 0,333... | * 3
    9/9 = 0,999...

    Ist so. Ansonsten wäre hier vllt noch Lesestoff: http://en.wikipedia.org/wiki/0.999...

    Liebe Grüße
  7. Autor dieses Themas

    homebrewfans

    homebrewfans hat kostenlosen Webspace.

    @prinzie: Genauso meinte ich das.

    icn nehme x,

    x = 0,P9 | *10
    10x = 9,P9| -x
    10x-x = 9,P9 - 0,P9
    9x = 9
    x = 1

    EDIT: @ggamee: Hab den Fehler verbessert, danke.

    Beitrag zuletzt geändert: 23.5.2012 15:28:36 von homebrewfans
  8. g****e

    homebrewfans schrieb:
    x = 0,P9 | *10
    10x = 9,P9| -x
    10x-x = 9,P9 - 0,P9
    9x = 9
    x = 9

    Du hast nen Fehler... x = 1 sollte am Ende rauskommen^^

    x = 9/9


    Liebe Grüße
  9. Die Reihe


    R(1)= 0,9
    R(2)=0,99
    ...
    R(n)=0,9...9 (insgesamt n Neunen)
    ...

    nähert sich mit zunehmendem n asymptotisch dem Wert 1,0 an.

    Also ist 0,999... mit unendlich vielen Neunen=1.

  10. hackyourlife

    Moderator Kostenloser Webspace von hackyourlife

    hackyourlife hat kostenlosen Webspace.

    ggamee schrieb:
    Versuchs mal so:

    0.9 (periode)
    = lim [n -> inf] sum [i=1 -> n] 9 * 10^-i
    = lim [n -> inf] 9 * 10^(-n-1) (1 + 10^1 + 10^2 + ... + 10^n )
    = lim [n -> inf] 9 * 10^(-n-1) (10^(n+1) - 1)/(10 - 1)
    = lim [n -> inf] 10^(-n-1+n+1) - 10^(-n-1) = 1
    Du weißt schon, dass du hier mit
    [math]
    deine Formeln richtig formatieren kannst, das vermeidet Missverständnisse...

    Damit man das besser lesen kann, und ich hoffe ich hab es so richtig verstanden:
    Formel: 0.\dot{9} = \lim_{n \to \infty}{\sum_{i=1}^{n}{9 \cdot 10^{-i}}}
    Formel: = \lim_{n \to \infty}{9 \cdot 10^{-n-1} (1 + 10^1 + 10^2 + ... + 10^n)}
    Formel: = \lim_{n \to \infty}{9 \cdot 10^{-n-1}\frac{10^{n+1} - 1}{10 - 1}
    Formel: = \lim_{n \to \infty}{10^{-n-1+n+1} - 10^{-n-1} = 1
  11. hackyourlife schrieb:
    ggamee schrieb:
    Versuchs mal so:

    0.9 (periode)
    = lim [n -> inf] sum [i=1 -> n] 9 * 10^-i
    = lim [n -> inf] 9 * 10^(-n-1) (1 + 10^1 + 10^2 + ... + 10^n )
    = lim [n -> inf] 9 * 10^(-n-1) (10^(n+1) - 1)/(10 - 1)
    = lim [n -> inf] 10^(-n-1+n+1) - 10^(-n-1) = 1
    Du weißt schon, dass du hier mit
    [math]
    deine Formeln richtig formatieren kannst, das vermeidet Missverständnisse...

    Damit man das besser lesen kann, und ich hoffe ich hab es so richtig verstanden:
    Formel: 0.\dot{9} = \lim_{n \to \infty}{\sum_{i=1}^{n}{9 \cdot 10^{-i}}}
    Formel: = \lim_{n \to \infty}{9 \cdot 10^{-n-1} (1 + 10^1 + 10^2 + ... + 10^n)}
    Formel: = \lim_{n \to \infty}{9 \cdot 10^{-n-1}\frac{10^{n+1} - 1}{10 - 1}
    Formel: = \lim_{n \to \infty}{10^{-n-1+n+1} - 10^{-n-1} = 1


    wow, da hat sich aber jemand Arbeit gemacht :)

    wie in der 1. Antwort schon beschrieben, ist es lediglich ein Darstellungsproblem der Dezimalzahlen. Wenn man das ganze in einem anderen Zahlensystem berechnet (also z.B. 3x 1/3 (was ja 0,99999... ergibt) in ein passenderes Zahlensystem umwandelt (z.B. in das zur Basis 3), sollte man den Beweis auch ohne Grenzwertbetrachtungen machen könnten.
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