Termumformungen
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wurzel
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Hey!
Wir haben heute in der Schule ein Blatt bekommen, das ich auf morgen l?sen muss. Nat?rlich komm ich wie immer nicht nacht...
Hier die Aufgaben:
1.) Trapez: Die eine Parallele ist 4cm k?rzer als die andere und 1 cm l?nger als die H?he. Der Inhalt betr?gt 40cm^2. Berechne die Mittelparallele
2a.) Welches ist der kleinste Wert, den der Term (2x-5)^2 +3 annehmen kann? F?r welches x ist dies der Fall?
b.) Beantworte die beiden Fragen auch f?r den Term 25x^2+20x+9
Schon wenn mir jemand nur eine Aufgabe erkl?ren k?nnte, w?re ich euch sehr dankbar.
mfg Eliane -
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Zur 2.
Es kann sein, dass das jetzt nicht mathematisch genug ist, aber ich gehe mal davon aus, dass es so stimmt
Bei (2x-5)?+3 geht man davon aus, dass das Ergebnis immer positiv ist, da eine gerade Potenz vorhanden ist.
Also,
(Klammerausdruck) >=0
Logischerweise will man da den niedrigsten Wert f?r die Klammer haben, also 0
x=2,5
(2*2,5-5)?+3=3
Der niedrigste Wert ist bei x=0 3
b)
Bei 25x?+20x+9 gehen wir davon aus, dass 25x? immer gr??er ist, als 20x
25x?>20x
Also, setzen wir hier den niedrigstm?glichen Wert 0 ein und erhalten
25*0?+0x+9=9
Die niedrigste Zahl ist also 9
-
Ich nehm mal die erste:
1.) Trapez: Die eine Parallele ist 4cm k?rzer als die andere und 1 cm l?nger als die H?he. Der Inhalt betr?gt 40cm^2. Berechne die Mittelparallele
Die obere Parallele habe ich mit x bezeichnet.
Die untere Parallele ist 4cm l?nger, also x+4.
Die H?he ist um 1cm k?rzer als die obere Parallele, also x-1.
Die mittlere Parallele ist genauso lang wie der Durchschnitt der beiden Parallelen, also x+2
(genausoviel l?nger als die k?rzere Parallele wie k?rzer als die l?ngere Parallele).
Am besten fertigst du dir ne Skizze an.
Der Fl?cheninhalt eines Trapezes ist jetzt einfach:
A = mittlere Parallele mal H?he.
also:
A= (x+2)*(x-1)
Der Fl?cheninhalt war vorgegeben:
40 = x^2+x-2
oder
x^2+x-42=0
Das ist eine quadratische Gleichung mit den L?sungen
x= -0,5+wurzel aus (42,25)
und x= -0,5-wurzel aus (42,25)
Die zweite L?sung ist negativ und kommt deshalb als Seitenl?nge nicht in Frage.
Die mittlere Parallele hat also eine L?nge von
mittlere Parallele x+2 = 1,5+wurzel aus (41,25)
=1,5+6,5 = 8
Beitrag ge?ndert am 21.06.2006 21:16 von anuehm -
Hey!
Wir haben heute in der Schule ein Blatt bekommen, das ich auf morgen l?sen muss. Nat?rlich komm ich wie immer nicht nacht...
Hier die Aufgaben:
1.) Trapez: Die eine Parallele ist 4cm k?rzer als die andere und 1 cm l?nger als die H?he. Der Inhalt betr?gt 40cm^2. Berechne die Mittelparallele
2a.) Welches ist der kleinste Wert, den der Term (2x-5)^2 +3 annehmen kann? F?r welches x ist dies der Fall?
b.) Beantworte die beiden Fragen auch f?r den Term 25x^2+20x+9
Schon wenn mir jemand nur eine Aufgabe erkl?ren k?nnte, w?re ich euch sehr dankbar.
mfg Eliane
Da die erste Frage gel?st ist, widme ich mich nochmal der zweiten.
Dazu meine Frage:
Habt ihr einen Taschenrechner mit Computer-Algebra-System? Der w?rde helfen...
Man k?nnte einfach den Term als Funktion nehmen und dann die Funktion angucken. Ableitung und Nullstellen raussuchen. Ein Minimum muss in der Ableitung eine Nullstelle sein. -
Zur 2.
Es kann sein, dass das jetzt nicht mathematisch genug ist, aber ich gehe mal davon aus, dass es so stimmt
Bei (2x-5)?+3 geht man davon aus, dass das Ergebnis immer positiv ist, da eine gerade Potenz vorhanden ist.
Also,
(Klammerausdruck) >=0
Logischerweise will man da den niedrigsten Wert f?r die Klammer haben, also 0
x=2,5
(2*2,5-5)?+3=3
Der niedrigste Wert ist bei x=0 3
Die Argumentation ist brauchbar, nur die Antwort (letzte Zeile) nicht. Sie sollte lauten: F?r x = 2,5 nimmt der Term den kleinstm?glichen Wert an; dieser kleinstm?gliche Wert ist 3.
b)
Bei 25x?+20x+9 gehen wir davon aus, dass 25x? immer gr??er ist, als 20x
25x?>20x
Das stimmt nicht! Setze zum Beispiel f?r x=0,0001 ein. Dann ist 25x^2 = 25*0,0000001=0,0000025. Gleichzeitig ist 20x=20*0,0001=0,0020.
F?r dieses Beispiel ist also 25x^2 < 20x.
Also, setzen wir hier den niedrigstm?glichen Wert 0 ein und erhalten
25*0?+0x+9=9
Die niedrigste Zahl ist also 9
Diese Argumentation ist falsch. Wer sagt z. Beispiel, dass x nicht negativ sein kann?
Ziel der Aufgabe ist es wohl, den Term in Aufgabenteil b) auf die Form in Aufgabenteil a) zur?ckzuf?hren und dann genau wie bei a) zu argumentieren. Das geht zum Beispiel mit Hilfe der quadratischen Erg?nzung.
Sehen wir uns den Term mal an:
25x^2+20x+9
Der soll in der Form geschrieben werden:
(...x + ...)^2 + ...
Dann haben wir wieder so eine Gestalt wie in a) und k?nnen sagen, dass der Term den kleinstm?glichen Wert annimmt, wenn die Klammer Null wird. Wegen des ^2 ist n?mlich Null der kleinstm?gliche Wert der Klammer.
Wie bringen wir den Term in diese Form?
Vielleicht habt ihr die binomischen Formeln vor kurzem besprochen. Die, die hier ben?tigt wird, lautet: (a+b)^2 = a^2+2*a*b+b^2.
a ist hier 5x, denn wenn man a quadriert (wie es in der binomischen Formel steht), soll man 25x^2 erhalten. Also:
(5x + ,,,)^2 + ... (jetzt unterscheide ich zwischen ,,, und ...)
Wenden wir die binomische Formel an:
25x^2+2*5x*,,,+ ,,,^2 + ...
Gar nicht schlecht. Eine gewisse ?hnlichkeit zu
25x^2+20x+9
besteht bereits. Es wird noch besser, wenn wir ,,, = 2 setzen:
(5x+2)^2+...
=25x^2+20x+4+...
stimmt ja schon fast mit
25x^2+20x+9
?berein. Wenn ...=5 ist, stimmts ganz genau.
(5x+2)^2+5
Jetzt untersuchen wir diesen Term.
Das geht genauso wie im Aufgabenteil a).
Die Klammer wird Null f?r x=-2/5.
Deshalb nimmt der Term f?r x=-2/5 den kleinstm?glichen Wert an; dieser Wert ist 5.
Beitrag ge?ndert am 21.06.2006 21:42 von anuehm -
Hey!
Wir haben heute in der Schule ein Blatt bekommen, das ich auf morgen l?sen muss. Nat?rlich komm ich wie immer nicht nacht...
Hier die Aufgaben:
1.) Trapez: Die eine Parallele ist 4cm k?rzer als die andere und 1 cm l?nger als die H?he. Der Inhalt betr?gt 40cm^2. Berechne die Mittelparallele
2a.) Welches ist der kleinste Wert, den der Term (2x-5)^2 +3 annehmen kann? F?r welches x ist dies der Fall?
b.) Beantworte die beiden Fragen auch f?r den Term 25x^2+20x+9
Schon wenn mir jemand nur eine Aufgabe erkl?ren k?nnte, w?re ich euch sehr dankbar.
mfg Eliane
Da die erste Frage gel?st ist, widme ich mich nochmal der zweiten.
Dazu meine Frage:
Habt ihr einen Taschenrechner mit Computer-Algebra-System? Der w?rde helfen...
Man k?nnte einfach den Term als Funktion nehmen und dann die Funktion angucken. Ableitung und Nullstellen raussuchen. Ein Minimum muss in der Ableitung eine Nullstelle sein.
Ich denke, du setzt Mittel der Oberstufe ein... Mir scheint dies aber eine Aufgabenstellung aus der Mittelstufe (Klasse 9 Gymnasium?) zu sein... Ableitungen sind bestimmt noch nicht bekannt. -
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