Polynomgleichung aus 3 punkten
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zweiten grades
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Hallo,
kann mir jemand eine Gleichung sagen, mit der ich a,b und c errechnen will
und drei Punkte gegeben habe?
Dabei meine ich nicht mit konkreten Zahlen rechnen, sondern nur als Formel
also a=[..], b=[...], c=[..]
ich bin an dieser Aufgabe schon länger dran, aber ich schaffe es einfach nicht,
da beim einsetzen der variablen immer in einer schleife neue Variablen in einer
Gleichung enstehen.
Danke im Voraus für eure Hilfe -
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Meinst du eine quadratische Gleichung mit ax² + bx +c = 0. Das würde ja mit der abc-Formel funktionieren. Aber da errechnest du auch nicht a,b,c sondern eben x.
Wenn du allerdings von dieser Form ausgehst: f(x)= ax² + bx +c und nun 3 Punke einsetzt erhältst du drei unterschiedliche Gleichungen mit
I: y_1 = ax_1² + bx_1 +c
II: y_2 = ax_2² + bx_2 +c
III: y_3 = ax_3² + bx_3 +c
Die Vorgehensweise wäre hier: Du formst (I) nach c um und setzt es in (II) und (III). Dann haben diese nur noch a und b drin als Variablen. Dann stellst du beispielsweise (II) nach b um und setzt es dann in (III). Somit hat (III) nur noch a drin.
Dann rückwärts wieder einsetzen um die restlichen zu errechnen. Viel Spaß! -
Ich denke dann werd ich das ganze nochmal versuchen mit variablen,
aber falls jemandem wirklich die endgleichungen bekannt sind wäre
ich sehr dankbar, wenn er/sie diese hier schreiben könnten^^ -
Also gegeben sind drei punkte P1(x1/y1), P2(x2/y2), P3(x3/y3)
Aus diesen drei Punkten soll eine Polynomgleichung zweiten Grades entstehen,
wobei das Ergebnis nur Variablen enthalten soll.
Mein Ansatz ist der gleiche den Werktags auch genannt hat:
I: y_1 = ax_1² + bx_1 +c II: y_2 = ax_2² + bx_2 +c III: y_3 = ax_3² + bx_3 +c
Mein Problem dabei ist, dass ich, wenn ich die für eine der Variablen
(z.B. a aus ersten Gleichung ) die Variable einer Anderen (z.B b aus der
zweiten Gleichung) einsetze, immer wieder andere Variablen erhalte,
die durch das Einsetzten in die neue Gleichung entstehen.
Um die gleichung aber so umzuformen, das ich am Ende eine Gleichung
wie a = [gleichung1], b = [gleichung2], c=[gleichung3] und schließlich
f(x)=ax²+bx+c. Wichtig! Das ganze soll nur mit Variablen geschehen.
-
Super! Das ist genau das was ich gesucht und auch nach
einigen Rechnungen nicht hinbekommen habe.
Danke für die Mühe, Tobi :-)
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ttobsen schrieb: Die Aufgabe hat mich selbst etwas neugierig gemacht. Theoretisch müssten ja zwei Punkte ausreichen, wenn man fordert dass die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist. Bin mal gespannt wie das funzt.
Das wäre doch nur so, wenn a nur die Werte -1 bzw +1 annehmen könnte. Ansonsten brauch man doch wieder drei Punkte, oder versteh ich da was falsch? -
Ne, verstehe es nicht ganz. Warum sollte sowas nicht möglich sein?
Obwohl mich das ganze an etwas erinnert, was ich einmal gelesen hab. Und zwar ging es darum aus einem Graphen eine Funktion zu machen. Das war immer dann einfach möglich, wenn man eindeutig ablesbare Nullstellen hat und dann mit Linearfaktoren arbeitet. Da braucht mal dann allerdings auch wieder noch einen Faktor für das "Stauchen". -
ttobsen schrieb: Man hat zum Beispiel N Messwerte. Und durch die möchte man nun ein Polynom M-1-ten Grades legen. Dann kann man die Fehlerquadrate aufaddieren (ich nenns mal E) um zu schauen wie gut das Polynom an die Messwerte angepasst wurde. Wenn man nun N = M-1 hat so gibt es genau eine Lösung, bei der das Polynom auf die Messwerte passt, mit E=0. Und genau das hat man da oben gemacht, mit N=3 und M=3.
Da komm ich nicht so ganz mit, wieso will man ein Polynom M-1ten Grades, wenn man N Messwerte hat. Also woher kommt dieses M?
Naja, bis ich genau verstehe, was damit gemeint ist, muss ich wohl noch en bisschen warten... -
Aber ich kann doch nicht daraus schließen, wenn ich N=3 Messwerte habe, da auch gleich ein Polynom 2. Grades daraus zu machen: Bsp.
Ich kann zwar bei 3 Messwerten ne Parabel durchziehen, aber ob das dann immer Sinn macht. So könnte ich ja auch etwas proportionales falsch deuten? -
ttobsen schrieb: Wenn du 3 Punkte hast kannst du IMMER das Gleichungssystem lösen und somit bekommst du immer ein Polynom dritten Grades (ausgenommen x1, x2, x3 sind paarweise gleich, dann ist das LGS nichtmehr lösbar).
Kleiner Tippfehler, oder ich steh gerade auf dem Schlauch?: Bei 3 Punkten kann man das GS immer lösen, bekommt aber ein Polynom zweiten Grades heraus, oder?
Sprich ein Polynom ersten Grades kannst du als Polynom zweiten Grades ansehen mit a=0
Da stimm' ich dir zu.
MfG madhouse -
madhouse schrieb:
Sprich ein Polynom ersten Grades kannst du als Polynom zweiten Grades ansehen mit a=0
Da stimm' ich dir zu.
MfG madhouse
Hm, hm, hm. Ich glaube nicht wirklich. Jedes Polynom lässt sich wie folgt schreiben:
Der Grad (die Ordnung) eines Polynoms ist nun definiert als
Würde man die Einschränkungweglassen, dann hätte jedes Polynom unendlich viele Grade (Ordnungen), sprich eine Parabel wäre ein Polynom 2. Ordnung, 3. Ordnung, 4. Ordnung etc. pp. Damit wäre der Begriff des Grades (der Ordnung) sinnlos geworden.
Also, ein Polynom n-1-ten Grades, ist kein Polynom n-ten Grades mit a(n) = 0. -
@census:
Du hast generell recht, deswegen spricht man ja für gewöhnlich auch vom "Raum aller Polynome mit Grad kleinergleich n" und nicht von den "Polynomen n-ten Grades". Für die Diskussion ist es aber imho irrelevant... -
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