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Aufgabe zum Erwartungswert

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  1. Autor dieses Themas

    konnsy

    konnsy hat kostenlosen Webspace.

    Hallo Leute,

    ich übe gerade etwas Stochastik für die nächste Matheklausur und bin auf eine Aufgabe gestoßen, die ich einfach nicht verstehe. Ich habe sie bereits gegoogelt, habe aber keinen Lösungsweg gefunden, der ausreichend erklärt war.

    Das hier ist die Aufgabe:
    Ein Kasten enthiilt drei weiße und sieben rote Kugeln. Ein Spieler zieht ohne Zurücklegen
    fünf Kugeln. Sind unter diesen fünf Kugeln genau zwei weiße, so gewinnt er 10€, andernfalls
    muss er 5€ bezahlen. ,,Lohnt" sich das Spiel für den Spieler?


    Ich weiß bis jetzt nur, dass das Ergebnis für die Wahrscheinlickeit, dass man gewinnt P(A)= 5/12 und der Erwartungswert E(x)= 1,25 € beträgt. Egal wie ich rechne, bekomme ich etwas anderes raus.


    Ich hoffe einer von euch kann mir dabei helfen
    Danke schonmal im vorraus

    mfg Konnsy
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  3. Hi

    Die Wahrscheinlichkeit für +10€ ist 5/12. Die Wahrscheinlichkeit für -5€ ist dementsprechend 7/12.

    Um den Erwartungswert zu berechnen musst die Wahscheinlichkeiten mit den Zufallsvariablen multiplizieren und aufsummieren:

    Formel: E = \sum_{i=1}^2 p_i \dot x_i = \frac{5}{12} \cdot 10 + \frac{7}{12} \cdot \left(-5\right) = 1,25

    Ich würde das Spiel also auf jedenfall spielen ;)

    Muss leider dringend los, sonst hätte ich noch ein bisschen mehr dazu geschrieben.

    Gruß Tobi
  4. Autor dieses Themas

    konnsy

    konnsy hat kostenlosen Webspace.

    Danke erstmal für die Antwort!

    Mir ist leider immer noch nicht klar, warum man 5/12 und 7/12 als Wahrscheinlichkeiten erhält. Den letzten Schritt habe ich jetzt verstanden, aber wie man bei den 10 Kugeln auf diese Ergebnisse kommt, kann ich mir immer noch nicht erklären.
    Es wäre nett, wenn Du mir das auch noch erklären könntest.

    Gruß, Konnsy
  5. Hm, ich würd mal ganz stark behaupten, dass so ein Beispiel in deinem Mathebuch zu finden ist. Wenn nicht, dann hast du noch nicht wirklich reingeschaut ;-)

    Versuche dir trotzdem mit meinen Worten den Sachverhalt zu erklären. Im Prinzip muss man nur die Anzahl aller möglichen Kombinationen und die Anzahl der Kombinationen, die zu einem Gewinn führen, zählen. Dann erhält man die Wahrscheinlichkeit von 5/12.

    Formel: P(Gewinn) = \frac {Anzahl aller gewinnführenden Kombinationen} {Anzahl aller Kombinationen} = \frac {5}{12}

    Die Gegenwahrscheinlichkeit für eine Niederlage ist ja 1 - 5/12 = 7/12. Dies sollte klar sein.

    Damit man jetzt aber nicht alle Kombinationen selbst zählen muss, haben sich einige schlaue Mathematiker daran gemacht, Formeln für solche Fälle zusammenzubasteln. Die Formel, die du benötigst, um die Gewinnwahrscheinlichkeit herauszubekommen sieht so aus (welche Angabe du wo in der Formel findest, dass überlasse ich deiner Gedankenkraft, sollte ohne zusätzliche Hilfe machbar sein^^):

    Formel: P(Gewinn) = \frac {\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix}} = \frac {5} {12}

    Hinweis zum Rechenweg:

    Formel: \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac {n!} {k! * (n - k)!}

    Zum Beispiel:

    Formel: \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix} = \frac {7!} {3! * 4!}  = \frac {7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1} {3 * 2 * 1 * (4 * 3 * 2 * 1)} = 35

    Hoffe, dass reicht erstmal. Schau mal sicherheitshalber noch in dein Mathebuch. Sollte im Zweifelsfall immer weiterhelfen;-)
  6. Autor dieses Themas

    konnsy

    konnsy hat kostenlosen Webspace.

    Dankeschön, habs jetzt verstanden.

    Mein Problem war die Anzahl der Gewinnführenden Ergebnisse,
    aber jetzt weiß ich endlich, dass man 2 von den 3 weißen Kugeln zieht und
    deshalb die restlichen 3 der 5 Kugeln, die man zieht, aus den 7 roten Kugeln
    sein müssen.

    Danke, Leute.
    mfg Konnsy


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