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Drittewurzel imaginär?

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  1. Autor dieses Themas

    reimann

    Kostenloser Webspace von reimann

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    Noja also ich hätte mal ne Frage:
    Ich verstehe ja das es keine Quadratwurzel von negativen Zahlen geben kann.
    Wieso ist aber die dritte Wurzel von ner negativen Zahl auch nicht real lösbar sondern nur imaginär?
    Ich meine -3 hoch 3 ergibt -27, aber die dritte Wurzel ist nicht -3, sondern so ne imaginäre Zahl mit i.
    Weiß nich ob die Frage dumm ist, nur ich und n Kumpel diskutieren da jedesmal mit der Lehrerin und Achtung: Wir haben imaginäre Zahlen in der Schule erst nächstes Jahr.
    Deshalb wahrscheinlich das Unwissen und unsere Lehrerin kann das da halt auch nich richtig erklären.
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  3. d***********a

    Die dritte Wurzel aus -27 ist auf jeden Fall -3 ...
    Imaginäre Lösungen kann ich mir hier nicht vorstellen, da man immer ein i "übrig" hätte.

    Wie kommst du darauf, dass die dritte Wurzel aus -27 nicht -3 sein sollte ?

    Grüße dapizzafressa
  4. m******s

    Die dritten Wurzeln von -27 sind (jetzt gut aufpassen):

    3/2 + 3i*Sqrt(3)/2
    -3
    3/2 - 3i*Sqrt(3)/2

    (Sqrt(n) ist die Quadratwurzel aus n)
    Wichtig ist halt, dass es genau 3 dritte Wurzeln aus jeder Zahl (ausser 0) gibt, genau wie es genau 2 Quadratwurzeln aus jeder Zahl gibt, genau 4 vierte Wurzeln und genau n n-te Wurzeln. Das ist das Resultat des Fundamentalsatzes der Algebra.
    Die n-te Wurzel ist also keine Funktion, genauso wie z.B. arcsin (oder manchmal auch sin^-1 genannt). Wenn du z.B. wissen willst, bei welchem Winkel der Sinus den Wert 1 annimmt, dann gibst du ja "arcsin(1)" in den Taschenrechner (oder ins Algebra-Programm) ein. Dein Taschrechner liefert dir dann den korrekten wert Pi/2. Dennoch wird der Sinus z.B. auch an der Stelle 5*Pi/2, 9*Pi/2 oder 13*Pi/2 immer 1. Der arcsin ist also eigentlich keine echte Funktion und der Rechner gibt nur den kleinsten Wert an.
    Genauso ist es bei der n-ten Wurzel (Du erinnerst dich vielleicht, dass ihr immer, wenns Quadratische Gleichungen zu lösen gab zwei Lösungen gab, nmälich Plusminus irgendwas. Das ist ein Ausdruck dafür, dass die Quadratwurzel zwei werte annimmt). Es gibt einfach n verschiedene Werte, die mit n exponentiert irgendeinen Wert ergeben. Der Taschenrechner hat auch hier wieder ne konkrete Vorschrift, um den angegeben Wert zu bestimmen (bei reellen mehrwertigen "Funktionen" nimmt er den kleinsten). Diese Vorschrift lautet: Nimm den, mit der kleinsten Phase (was die Phase einer komplexen Zahl ist, lernt ihr dann nächstes Jahr). Das ist aber bei der dritten Wurzel eine komplexe Zahl, nämlich 3/2 + 3i*Sqrt(3)/2, die hat die Phase Pi/3. -3 wiederum hat die Phase Pi. Deswegen zeigt der Rechner eine komplexe Zahl an.
    Das heisst aber nicht, dass -3 nicht die dritte Wurzel aus -27 ist.

    Beitrag geändert: 14.8.2008 21:06:43 von merovius
  5. Autor dieses Themas

    reimann

    Kostenloser Webspace von reimann

    reimann hat kostenlosen Webspace.

    Danke für die Erklärung:thumb:
    In Mathe war ich sonst immer ein Ass (BLF-Bester)
    Aber vor solchen Sachen wie imaginären/komplexen Zahlen und Vektoren und so da grauts mir echt.
    Mies wenn man den Leistungskurs macht.:lol:
  6. m******s


    Danke für die Erklärung:thumb:
    In Mathe war ich sonst immer ein Ass (BLF-Bester)
    Aber vor solchen Sachen wie imaginären/komplexen Zahlen und Vektoren und so da grauts mir echt.
    Mies wenn man den Leistungskurs macht.:lol:


    In der Tat. Komplexe Zahlen sind etwas wunderbares (und eigentlich auch nicht schwer, besonders, wenn man sich als Ass bezeichnen kann ;) ). Vektoren sind, soweit es die Schule betrifft, leider kotzlangweilig. Schwer aber auch nicht wirklich ;)

    Naja, ich denke mal, der thread kann dann geschlossen werden,
  7. merovius schrieb:
    Naja, ich denke mal, der thread kann dann geschlossen werden,


    Da Semesterferien sind und ich gerade Funktionentheorie nacharbeit, würd ich trotzdem noch gern was dazu anmerken ;)

    merovius schrieb:
    Die dritten Wurzeln von -27 sind (jetzt gut aufpassen):

    3/2 + 3i*Sqrt(3)/2
    -3
    3/2 - 3i*Sqrt(3)/2

    (Sqrt(n) ist die Quadratwurzel aus n)
    Wichtig ist halt, dass es genau 3 dritte Wurzeln aus jeder Zahl (ausser 0) gibt, genau wie es genau 2 Quadratwurzeln aus jeder Zahl gibt, genau 4 vierte Wurzeln und genau n n-te Wurzeln. Das ist das Resultat des Fundamentalsatzes der Algebra.


    Kann man so argumentieren, muß man aber nicht.

    "Eine komplexe Zahl a heißt n-te Einheitswurzel (n ist natürliche Zahl), falls a^n = 1 gilt."

    Dazu kann man nun den folgenden Satz beweisen:

    "Es gibt genau zu jedem n (natürliche Zahl) genau n verschiedene n-te Einheitswurzeln nämlich

    S_v = cos(2 pi v/n) + i sin(2 pi v/n) mit 0 <= v < n"

    Das zu beweisen ist sehr einfach, daher hier mal nur eine kleine Beweisskizze:

    - zeige durch Induktion (cos phi + i sin phi)^n = cos(n phi) + i sin(n phi)
    - Einheitswurzeln sind vom Betrag 1 daher lassen sie sich in der Form cos phi + i sin phi darstellen.
    - Diese Zahl ist geanu dann n-te Einheitswurzel wenn n phi ganzzahliges Vielfaches von 2 Pi ist.
    - Das man nun nur die Werte von 0 bis n-1 betrachten muß folgt aus dem Satz:

    "Aus r*(cos phi + i sin phi) = r' (cos phi' + i sin phi') folgt r = r' und phi - phi' = 2 pi k mit k ganze Zahl".

    Für den konkreten Fall von oben (dritte Wurzel aus -27), müsste man also die dritte Einheitswurzel für n=3 berechnen, das wären

    {1, -1/2 + i/2 wurzel(3), -1/2 - i/2 wurzel(3)} = {(-12 + i/2 wurzel(3))^k; 0<= k < 2}

    Zeichnet man sich das mal in die komplexe Zahlenebene ergibt sich ein gleichseitiges Dreieck (bei n=4 ein gleichseitiges Vierreck, gleichseitiges Fünfeck und so weiter)

    Und das ganze einfach auf 27 Strecken und dann an der imagniären Achse spiegeln.

    Im Zusammenhang mit Funktionentheorie kann und muß ich daher das Buch "Funktionentheorie 1; E. Freitag, R. Busam, Springer Verlag". Das ist wirklich sehr gut. Hat auch viele historische Geschichten zu dem Thema (natürlich nicht soviel wie im Remmert, welches ich auch nicht schlecht finde). Kostet glaube ich so ca. 30€, ist aber ein Kauf fürs Leben :)

    Gruß Tobi
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