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Epsilon-Konvergenzbeweise

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  1. Autor dieses Themas

    f*b

    Hallo,
    Ich merke dass ich einfach n Problem hab mit dem Epsilon-Konvergenzbeweis.
    Was muss ich finden, in Abhängigkeit wovon etc. wenn ich bei einer Folge Konvergenz nachweisen soll und es mit den üblichen Tricks nicht geht?
    Ich meine, ich sehe die Beweise aus den Übungen durch und verstehe irgendwie Schritt für Schritt was wir machen, aber den Überblick verliere ich.
    Kann mir jemand mal einfach sagen, wie ich vorgehen muss?
    danke!
    gruss
    fab
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  3. Wie lautet denn die Folge?

    Allgemein gilt:
    Eine Folge <a_n> hat den Grenzwert &alpha; genau dann wenn sich fast alle Folgeglieder (alle bis auf endlich viele) in der &epsilon;-Umgebung von &alpha; befinden.
    Eine Folge hei&szlig;t konvergent wenn es einen Grenzwert gibt.

    z.B.:
    <a_n> =<(1 + 1/n)>
    &alpha; = lim( 1 + 1/n ) = 1 (der lim wandert mit n gegen unendlich)
    => Folge ist konvergent (&alpha;=1)

    aber

    <a_n>=<(n)>
    &alpha; = lim(n) = unendlich. (der lim wandert nat&#252;rlich wieder mit n gegen unendlich)
    => Folge ist NICHT konvergent (weil unendlich keine reele Zahl ist.)

    gar nicht sooo schwer
    mfg qixi


    Beitrag geändert: 12.11.2007 13:11:31 von qixi
  4. c*a

    fab schrieb:
    Hallo,
    Ich merke dass ich einfach n Problem hab mit dem Epsilon-Konvergenzbeweis.
    Was muss ich finden, in Abh&#228;ngigkeit wovon etc. wenn ich bei einer Folge Konvergenz nachweisen soll und es mit den &#252;blichen Tricks nicht geht?
    Ich meine, ich sehe die Beweise aus den &#220;bungen durch und verstehe irgendwie Schritt f&#252;r Schritt was wir machen, aber den &#220;berblick verliere ich.
    Kann mir jemand mal einfach sagen, wie ich vorgehen muss?
    danke!
    gruss
    fab


    Eine Folge a_n konvergiert gegen den Grenzwert g, wenn f&#252;r jedes &#949; > 0 ein N existiert, so dass gilt

    |a_n - g| < &#949; f&#252;r alle n >= N (#)

    Man muss also zeigen, wenn &#949; so und so ist, muss N so sein, und es gilt

    |a_n - g| < &#949; f&#252;r alle n >= N

    N ist nat&#252;rlich von &#949; abh&#228;ngig!

    In den Aufgaben, wo man dieses &#949; finden will, geht man ja meist "die falsche Richtung", d. h. man rechnet mit der Ungleichung so lange rum bis man nach n aufgel&#246;st hat. Korrekter w&#228;re es wenn man mit dem "Ergebnis anf&#228;ngt", also einfach sagen w&#252;rde, so sieht mein N aus in Abh&#228;ngigkeit von &#949;, also N(&#949; ) = ... und jetzt schauen wir mal, ob (#) gilt.
  5. Autor dieses Themas

    f*b

    N(Epsilon) muss ich also finden. Genau das habe ich mich gefragt, danke.

    Rate ich da oder gibt es elegantere Wege, dieses N zu finden?
    In meinen Notizen steht da oft "Sei Epsilon=1/N" oder so. Warum, wie kommt man darauf?
  6. c*a

    fab schrieb:
    N(Epsilon) muss ich also finden. Genau das habe ich mich gefragt, danke.

    Rate ich da oder gibt es elegantere Wege, dieses N zu finden?


    Also man hat diese Ungleichung

    |a_n - g| < &#949;

    und die l&#246;st man nach n auf. So kommt man zu dem Ergebnis.

    Beispiel:

    a_n = 1/n soll gegen Null konvergieren

    |1/n - 0| < &#949;
    da immer positiv, kann der Betrag wegfallen
    1/n < &#949;
    <=>
    1/&#949; < n

    Den Beweis schreibt man dann besser andersrum auf:
    also: f&#252;r &#949; beliebig und n>= N(&#949; ) > 1/&#949;, N(&#949; ) aus IN gilt:

    |1/n - 0| <= |1/N(&#949; )| = 1/N(&#949; ) < 1/(1/&#949; ) = &#949;

    In meinen Notizen steht da oft 'Sei Epsilon=1/N' oder so. Warum, wie kommt man darauf?
    Also das verstehe ich auch nicht, &#949; soll ja frei w&#228;hlbar sein, und N variieren.
  7. cga schrieb:
    In meinen Notizen steht da oft 'Sei Epsilon=1/N' oder so. Warum, wie kommt man darauf?
    Also das verstehe ich auch nicht, &#949; soll ja frei w&#228;hlbar sein, und N variieren.


    Das macht man deshalb um direkt zu jeder Schranke N das passende n angeben zu k&#246;nnen. Da man eh anch unten absch&#228;tzt kann man eps = 1/N w&#228;hlen. Gibt es kein passendes N zu dem epsilon Wert (N ist ja eine nat&#252;rliche Zahl gr&#246;&#223;er 0) nimmt man einfach das n&#228;chst gr&#246;&#223;ere N, so das eps < 1/N.

    Im Prinzip ist die Wahl des eps voll Wurscht, man muss nur zeigen das es eben f&#252;r jedes gilt (und das tut es mit obiger Absch&#228;tzung).

    Gru&#223; Tobi

    PS: ich hatte heute Mittag ein paar tolle Beispiele und ganz anschauliche Erklarungen abgeben, aber durch meine doofe Klickerei bin ich ausversehen auf ein Lesezeichen gekommen statt in die Adresszeile des Browser (wollte noch nenn Link hier rein kopieren). Falls jemand wei&#223; obs ein AddOn gibt um solche Probleme zu vermeiden, bzw. das getippte wieder herzuholen w&#228;r ich ewig dankbar. Das ist mir leider schon zu oft passiert.
  8. c*a

    Das macht man deshalb um direkt zu jeder Schranke N das passende n angeben zu k&#246;nnen.
    :confused:
    Was f&#252;r eine Schranke soll N sein? Und wieso passendes n?
    Im Prinzip ist die Wahl des eps voll Wurscht, man muss nur zeigen das es eben f&#252;r jedes gilt (und das tut es mit obiger Absch&#228;tzung).
    Mir geht es um den Zweck dieser Formulierung, das vereinfacht ja nichts, au&#223;er dass man sich den Satz spart:

    "Sei &#949; beliebig und N die kleinste nat&#252;rliche Zahl, die gr&#246;&#223;er ist als 1/&#949;."

  9. Autor dieses Themas

    f*b

    Nun ja, N=1/eps oder eps=1/N sind ja aequivalent zueinander, daher kommts wohl nicht so drauf an...
    Das hat mich einfach immer verwirrt, da ich dann in meinem Hinterkopf die Vorstellung hatte, ich müsse Epsilon in Abhängigkeit von N bestimmen...

    Um weiter zu nerven noch das: was mache ich wenn eine Fakultät vorkommt, wie löse ich das auf?

    2 Beispiele die mir einfallen und die ich nicht lösen könnte:
    (1) z.z.: x_n:=1/(8^n-7^n) konvergiert gegen 0 für n->unendlich
    (2) z.z.: x_n:=1/(x!) konvergiert auch gegen 0 für n gegen unendl.

    danke für eure Hilfe!

    gruss
    fab


    /edit:

    Das macht man deshalb um direkt zu jeder Schranke N das passende n angeben zu k&#246;nnen.
    :confused:
    Was f&#252;r eine Schranke soll N sein? Und wieso passendes n?


    ich glaube ttobsen meinte "...um direkt zu jedem N das passende -epsilon- angeben zu können", nicht n...

    Beitrag geändert: 13.11.2007 20:31:14 von fab
  10. cga schrieb:
    Das macht man deshalb um direkt zu jeder Schranke N das passende n angeben zu k&#246;nnen.
    :confused:
    Was f&#252;r eine Schranke soll N sein? Und wieso passendes n?


    N ist der Wert f&#252;r den Laufindex der Folge so das gilt: F&#252;r alle n > N ist |a_n-a| < eps.

    Ohne dieses N w&#228;re die ganze Folgenkonvergenz auch nicht vern&#252;nftig definiert. Die Folge konvergiert genau dann wenn es zu jedem eps eben dieses N gibt.

    cga schrieb:
    Mir geht es um den Zweck dieser Formulierung, das vereinfacht ja nichts


    Doch in manchen F&#228;llen (die Wahl f&#252;r dieses eps ist nur bei gewissen Beispielen eine Vereinfachung, allgemein wird das nicht so gehandhabt) ist das eben dann ganz einfach die Konvergenz zu zeigen.

    W&#228;hlen wir eben die harmonische Folge: a_n = 1/n und wir wollen zeigen das die gegen 0 konvergiert.

    Beweis: Wir w&#228;hlen zu jedem eps > 0, N = 1/eps, so folgt f&#252;r alle n > N

    |a_n - 0| = |a_n| = |1/n| = 1/n < 1/N = eps

    Das Unterstrichen ist erf&#252;llt durch die Bedingung n > N. Somit haben wir also direkt ohne Rechnung gezeigt das a_n gegen 0 konvergiert, ohne Rechnug, nur durch geschickte Wahl von N als Funktion von eps.



    fab schrieb:
    Nun ja, N=1/eps oder eps=1/N sind ja aequivalent zueinander, daher kommts wohl nicht so drauf an...
    Das hat mich einfach immer verwirrt, da ich dann in meinem Hinterkopf die Vorstellung hatte, ich m&#252;sse Epsilon in Abh&#228;ngigkeit von N bestimmen...


    Das ist auch korrekt. Du musst eben zu JEDEM Epsilon die passende Schranke finden, also ist eps eine Funktion von N.

    Zu deinen Funktionen: ich mach erstmal das zweite (ich denke mal das muss n! hei&#223;en), weil das passt zu schon zu dem eps = 1 / N getue.

    es gilt also: |1/n! - 0| = |1/n!| = 1/n! wir w&#228;hlen eps = 1/N damit erhalten wir: 1/n! < 1/N = eps

    mit n > N ist folglich n! > n > N bzw. 1/n! < 1/N und somit ist gezeigt das die Folge gegen 0 konvergiert.

    zum ersten Beispiel:

    Das ist jetzt ein Beispiel bei dem man kreativ sein muss. Hilfreich w&#228;r es zu zeigen das 1(8^n - 7^n) < 1/n f&#252;r alle n > 0. Dies k&#246;nntest du mittels Induktion beweisen (ist nicht schwer, nur eine Absch&#228;tzung, wenn du da Hilfe brauchst post ich das hier rein). Durch Absch&#228;tzung nach oben und der Tatsach das 1/n gegen 0 konvergiert folgt dann die Behauptung (das m&#252;sstest jetzt hinbekommen, siehe weiter oben).

    Zusammenfassend ist vielleicht noch zu sagen:
    "Zu jedem eps > 0 existiert ein n > N mit |a_n - a| < eps f&#252;r alle n"
    ist nur die Definition von dem Begriff "Konvergenz von Folgen". Um zu zeigen das a_ngegen a konvergiert, eignet sich das nat&#252;rlich nicht wirklich, man kann jedoch pr&#252;fen ob zu einer Reihe der vorliegende Grenzwert korrekt ist (aber das hast du ja korrekt verstanden soweit ich gelesen hab).

    Gru&#223; Tobi


    Beitrag geändert: 13.11.2007 23:00:33 von ttobsen
  11. c*a

    Nun ja, N=1/eps oder eps=1/N sind ja aequivalent zueinander, daher kommts wohl nicht so drauf an...
    Ja, das habe auch noch alleine rausgekriegt :biggrin:
    Das hat mich einfach immer verwirrt, da ich dann in meinem Hinterkopf die Vorstellung hatte, ich m&#252;sse Epsilon in Abh&#228;ngigkeit von N bestimmen...
    Deswegen mag ich diese Formulierung nicht. Ich mags sauberer, also dass man wirklich N(&#949; ) konkret angibt. Das ist das einzige worum es mir hier ging, die (minimale) Zeitersparnis rechtfertigt das IMHO auch nicht.

    a_n = 1/n => 0 ?

    N(&#949; ) = aufrunden((1/&#949; ) + 1)

    |1/n - 0| = |1/n| <= |1/N| < |1/(1/&#949; )| = &#949;

    geht auch schnell!!!
  12. cga schrieb:
    a_n = 1/n => 0 ?

    N(&#949; ) = aufrunden((1/&#949; ) + 1)

    |1/n - 0| = |1/n| <= |1/N| < |1/(1/&#949; )| = &#949;

    geht auch schnell!!!


    Doofe Frage am Rand: f&#252;r was ist das +1 gut? M&#246;chet nur wissen ob ich was offensichtliches nicht bedacht hab.

    Gru&#223; Tobi
  13. c*a

    Das + 1 ist nur daf&#252;r da, damit man wirklich mit < absch&#228;tzen kann (und nicht nur mit <= ).

    Wenn z. B. &#949; = 1/4, dann gilt N = 4 und die Absch&#228;tzung funktioniert nicht.

    Also eine reine Formalit&#228;t.
  14. cga schrieb:
    Das + 1 ist nur daf&#252;r da, damit man wirklich mit < absch&#228;tzen kann (und nicht nur mit <= ).

    Wenn z. B. &#949; = 1/4, dann gilt N = 4 und die Absch&#228;tzung funktioniert nicht.

    Also eine reine Formalit&#228;t.


    Aso. Kann man sich aber sparen da laut Definition n > N gilt, da passt dann die Absch&#228;tzung trotzdem noch auch f&#252;r <=.

    Gru&#223; Tobi
  15. c*a

    Aso. Kann man sich aber sparen da laut Definition n > N gilt, da passt dann die Absch&#228;tzung trotzdem noch auch f&#252;r <=.
    Nach meiner nicht, oben hab ich ja geschrieben:
    |a_n - g| < &#949; f&#252;r alle n >= N

    so jetzt ist aber gut, ttobsen!!! ;)
  16. cga schrieb:
    so jetzt ist aber gut, ttobsen!!! ;)


    sorryyyyyy, ich dachte du arbeitest mit n echt gr&#246;&#223;er N und daher war ich verwirrt.

    Gru&#223; Tobi :)
  17. Diskutiere mit und stelle Fragen: Jetzt kostenlos anmelden!

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