Epsilon-Konvergenzbeweise
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Hallo,
Ich merke dass ich einfach n Problem hab mit dem Epsilon-Konvergenzbeweis.
Was muss ich finden, in Abhängigkeit wovon etc. wenn ich bei einer Folge Konvergenz nachweisen soll und es mit den üblichen Tricks nicht geht?
Ich meine, ich sehe die Beweise aus den Übungen durch und verstehe irgendwie Schritt für Schritt was wir machen, aber den Überblick verliere ich.
Kann mir jemand mal einfach sagen, wie ich vorgehen muss?
danke!
gruss
fab -
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Wie lautet denn die Folge?
Allgemein gilt:
Eine Folge <a_n> hat den Grenzwert α genau dann wenn sich fast alle Folgeglieder (alle bis auf endlich viele) in der ε-Umgebung von α befinden.
Eine Folge heißt konvergent wenn es einen Grenzwert gibt.
z.B.:
<a_n> =<(1 + 1/n)>
α = lim( 1 + 1/n ) = 1 (der lim wandert mit n gegen unendlich)
=> Folge ist konvergent (α=1)
aber
<a_n>=<(n)>
α = lim(n) = unendlich. (der lim wandert natürlich wieder mit n gegen unendlich)
=> Folge ist NICHT konvergent (weil unendlich keine reele Zahl ist.)
gar nicht sooo schwer
mfg qixi
Beitrag geändert: 12.11.2007 13:11:31 von qixi -
fab schrieb:
Hallo,
Ich merke dass ich einfach n Problem hab mit dem Epsilon-Konvergenzbeweis.
Was muss ich finden, in Abhängigkeit wovon etc. wenn ich bei einer Folge Konvergenz nachweisen soll und es mit den üblichen Tricks nicht geht?
Ich meine, ich sehe die Beweise aus den Übungen durch und verstehe irgendwie Schritt für Schritt was wir machen, aber den Überblick verliere ich.
Kann mir jemand mal einfach sagen, wie ich vorgehen muss?
danke!
gruss
fab
Eine Folge a_n konvergiert gegen den Grenzwert g, wenn für jedes ε > 0 ein N existiert, so dass gilt
|a_n - g| < ε für alle n >= N (#)
Man muss also zeigen, wenn ε so und so ist, muss N so sein, und es gilt
|a_n - g| < ε für alle n >= N
N ist natürlich von ε abhängig!
In den Aufgaben, wo man dieses ε finden will, geht man ja meist "die falsche Richtung", d. h. man rechnet mit der Ungleichung so lange rum bis man nach n aufgelöst hat. Korrekter wäre es wenn man mit dem "Ergebnis anfängt", also einfach sagen würde, so sieht mein N aus in Abhängigkeit von ε, also N(ε ) = ... und jetzt schauen wir mal, ob (#) gilt.
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N(Epsilon) muss ich also finden. Genau das habe ich mich gefragt, danke.
Rate ich da oder gibt es elegantere Wege, dieses N zu finden?
In meinen Notizen steht da oft "Sei Epsilon=1/N" oder so. Warum, wie kommt man darauf? -
fab schrieb:
N(Epsilon) muss ich also finden. Genau das habe ich mich gefragt, danke.
Rate ich da oder gibt es elegantere Wege, dieses N zu finden?
Also man hat diese Ungleichung
|a_n - g| < ε
und die löst man nach n auf. So kommt man zu dem Ergebnis.
Beispiel:
a_n = 1/n soll gegen Null konvergieren
|1/n - 0| < ε
da immer positiv, kann der Betrag wegfallen
1/n < ε
<=>
1/ε < n
Den Beweis schreibt man dann besser andersrum auf:
also: für ε beliebig und n>= N(ε ) > 1/ε, N(ε ) aus IN gilt:
|1/n - 0| <= |1/N(ε )| = 1/N(ε ) < 1/(1/ε ) = ε
In meinen Notizen steht da oft 'Sei Epsilon=1/N' oder so. Warum, wie kommt man darauf?
Also das verstehe ich auch nicht, ε soll ja frei wählbar sein, und N variieren.
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cga schrieb:
In meinen Notizen steht da oft 'Sei Epsilon=1/N' oder so. Warum, wie kommt man darauf?
Also das verstehe ich auch nicht, ε soll ja frei wählbar sein, und N variieren.
Das macht man deshalb um direkt zu jeder Schranke N das passende n angeben zu können. Da man eh anch unten abschätzt kann man eps = 1/N wählen. Gibt es kein passendes N zu dem epsilon Wert (N ist ja eine natürliche Zahl größer 0) nimmt man einfach das nächst größere N, so das eps < 1/N.
Im Prinzip ist die Wahl des eps voll Wurscht, man muss nur zeigen das es eben für jedes gilt (und das tut es mit obiger Abschätzung).
Gruß Tobi
PS: ich hatte heute Mittag ein paar tolle Beispiele und ganz anschauliche Erklarungen abgeben, aber durch meine doofe Klickerei bin ich ausversehen auf ein Lesezeichen gekommen statt in die Adresszeile des Browser (wollte noch nenn Link hier rein kopieren). Falls jemand weiß obs ein AddOn gibt um solche Probleme zu vermeiden, bzw. das getippte wieder herzuholen wär ich ewig dankbar. Das ist mir leider schon zu oft passiert. -
Das macht man deshalb um direkt zu jeder Schranke N das passende n angeben zu können.
Was für eine Schranke soll N sein? Und wieso passendes n?Im Prinzip ist die Wahl des eps voll Wurscht, man muss nur zeigen das es eben für jedes gilt (und das tut es mit obiger Abschätzung).
Mir geht es um den Zweck dieser Formulierung, das vereinfacht ja nichts, außer dass man sich den Satz spart:
"Sei ε beliebig und N die kleinste natürliche Zahl, die größer ist als 1/ε."
-
Nun ja, N=1/eps oder eps=1/N sind ja aequivalent zueinander, daher kommts wohl nicht so drauf an...
Das hat mich einfach immer verwirrt, da ich dann in meinem Hinterkopf die Vorstellung hatte, ich müsse Epsilon in Abhängigkeit von N bestimmen...
Um weiter zu nerven noch das: was mache ich wenn eine Fakultät vorkommt, wie löse ich das auf?
2 Beispiele die mir einfallen und die ich nicht lösen könnte:
(1) z.z.: x_n:=1/(8^n-7^n) konvergiert gegen 0 für n->unendlich
(2) z.z.: x_n:=1/(x!) konvergiert auch gegen 0 für n gegen unendl.
danke für eure Hilfe!
gruss
fab
/edit:
Das macht man deshalb um direkt zu jeder Schranke N das passende n angeben zu können.
Was für eine Schranke soll N sein? Und wieso passendes n?
ich glaube ttobsen meinte "...um direkt zu jedem N das passende -epsilon- angeben zu können", nicht n...
Beitrag geändert: 13.11.2007 20:31:14 von fab -
cga schrieb:
Das macht man deshalb um direkt zu jeder Schranke N das passende n angeben zu können.
Was für eine Schranke soll N sein? Und wieso passendes n?
N ist der Wert für den Laufindex der Folge so das gilt: Für alle n > N ist |a_n-a| < eps.
Ohne dieses N wäre die ganze Folgenkonvergenz auch nicht vernünftig definiert. Die Folge konvergiert genau dann wenn es zu jedem eps eben dieses N gibt.
cga schrieb:
Mir geht es um den Zweck dieser Formulierung, das vereinfacht ja nichts
Doch in manchen Fällen (die Wahl für dieses eps ist nur bei gewissen Beispielen eine Vereinfachung, allgemein wird das nicht so gehandhabt) ist das eben dann ganz einfach die Konvergenz zu zeigen.
Wählen wir eben die harmonische Folge: a_n = 1/n und wir wollen zeigen das die gegen 0 konvergiert.
Beweis: Wir wählen zu jedem eps > 0, N = 1/eps, so folgt für alle n > N
|a_n - 0| = |a_n| = |1/n| = 1/n < 1/N = eps
Das Unterstrichen ist erfüllt durch die Bedingung n > N. Somit haben wir also direkt ohne Rechnung gezeigt das a_n gegen 0 konvergiert, ohne Rechnug, nur durch geschickte Wahl von N als Funktion von eps.
fab schrieb:
Nun ja, N=1/eps oder eps=1/N sind ja aequivalent zueinander, daher kommts wohl nicht so drauf an...
Das hat mich einfach immer verwirrt, da ich dann in meinem Hinterkopf die Vorstellung hatte, ich müsse Epsilon in Abhängigkeit von N bestimmen...
Das ist auch korrekt. Du musst eben zu JEDEM Epsilon die passende Schranke finden, also ist eps eine Funktion von N.
Zu deinen Funktionen: ich mach erstmal das zweite (ich denke mal das muss n! heißen), weil das passt zu schon zu dem eps = 1 / N getue.
es gilt also: |1/n! - 0| = |1/n!| = 1/n! wir wählen eps = 1/N damit erhalten wir: 1/n! < 1/N = eps
mit n > N ist folglich n! > n > N bzw. 1/n! < 1/N und somit ist gezeigt das die Folge gegen 0 konvergiert.
zum ersten Beispiel:
Das ist jetzt ein Beispiel bei dem man kreativ sein muss. Hilfreich wär es zu zeigen das 1(8^n - 7^n) < 1/n für alle n > 0. Dies könntest du mittels Induktion beweisen (ist nicht schwer, nur eine Abschätzung, wenn du da Hilfe brauchst post ich das hier rein). Durch Abschätzung nach oben und der Tatsach das 1/n gegen 0 konvergiert folgt dann die Behauptung (das müsstest jetzt hinbekommen, siehe weiter oben).
Zusammenfassend ist vielleicht noch zu sagen:
"Zu jedem eps > 0 existiert ein n > N mit |a_n - a| < eps für alle n"
ist nur die Definition von dem Begriff "Konvergenz von Folgen". Um zu zeigen das a_ngegen a konvergiert, eignet sich das natürlich nicht wirklich, man kann jedoch prüfen ob zu einer Reihe der vorliegende Grenzwert korrekt ist (aber das hast du ja korrekt verstanden soweit ich gelesen hab).
Gruß Tobi
Beitrag geändert: 13.11.2007 23:00:33 von ttobsen -
Nun ja, N=1/eps oder eps=1/N sind ja aequivalent zueinander, daher kommts wohl nicht so drauf an...
Ja, das habe auch noch alleine rausgekriegt
Das hat mich einfach immer verwirrt, da ich dann in meinem Hinterkopf die Vorstellung hatte, ich müsse Epsilon in Abhängigkeit von N bestimmen...
Deswegen mag ich diese Formulierung nicht. Ich mags sauberer, also dass man wirklich N(ε ) konkret angibt. Das ist das einzige worum es mir hier ging, die (minimale) Zeitersparnis rechtfertigt das IMHO auch nicht.
a_n = 1/n => 0 ?
N(ε ) = aufrunden((1/ε ) + 1)
|1/n - 0| = |1/n| <= |1/N| < |1/(1/ε )| = ε
geht auch schnell!!!
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cga schrieb:
a_n = 1/n => 0 ?
N(ε ) = aufrunden((1/ε ) + 1)
|1/n - 0| = |1/n| <= |1/N| < |1/(1/ε )| = ε
geht auch schnell!!!
Doofe Frage am Rand: für was ist das +1 gut? Möchet nur wissen ob ich was offensichtliches nicht bedacht hab.
Gruß Tobi -
Das + 1 ist nur dafür da, damit man wirklich mit < abschätzen kann (und nicht nur mit <= ).
Wenn z. B. ε = 1/4, dann gilt N = 4 und die Abschätzung funktioniert nicht.
Also eine reine Formalität. -
cga schrieb:
Das + 1 ist nur dafür da, damit man wirklich mit < abschätzen kann (und nicht nur mit <= ).
Wenn z. B. ε = 1/4, dann gilt N = 4 und die Abschätzung funktioniert nicht.
Also eine reine Formalität.
Aso. Kann man sich aber sparen da laut Definition n > N gilt, da passt dann die Abschätzung trotzdem noch auch für <=.
Gruß Tobi -
Aso. Kann man sich aber sparen da laut Definition n > N gilt, da passt dann die Abschätzung trotzdem noch auch für <=.
Nach meiner nicht, oben hab ich ja geschrieben:
|a_n - g| < ε für alle n >= N
so jetzt ist aber gut, ttobsen!!! ;)
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cga schrieb:
so jetzt ist aber gut, ttobsen!!! ;)
sorryyyyyy, ich dachte du arbeitest mit n echt größer N und daher war ich verwirrt.
Gruß Tobi :) -
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