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Injektivität/Surjektivität

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  1. Autor dieses Themas

    chakotay

    chakotay hat kostenlosen Webspace.

    13:41, 31.10.2011
    Hi,

    ich steh mal wieder gnadenlos auf dem Schlauch :/ Kann mir eventuell jemand Helfen, die Aufgaben zu lösen & das ganze auch zu verstehen? Ich habe schon diverse Wikipedia Artikel durch allerdings versteh ich das ganze dort nicht 100%ig.

    Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.

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    Liebe Grüße

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  3. scherzkrapferl

    scherzkrapferl hat kostenlosen Webspace.

    22:57, 31.10.2011
    hallo, genau mit dem thema beschäftige ich mich auch zur zeit. am besten machst du dir mal genau bewusst was injektivität, surjektivität und bijektivität bedeuten.

    injektivität bedeutet dass jedes element der zielmenge höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird.
    surjektivität bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird.
    bijektivität herrscht vor wenn einen funktion surjektiv und injektiv ist.

    LG Scherzkrapferl
  4. Autor dieses Themas

    chakotay

    chakotay hat kostenlosen Webspace.

    19:50, 1.11.2011
    Was das bedeutet weiß ich, allerdings bringt es mich bei meinem Problem nicht weiter.

    Lg

  5. scherzkrapferl

    scherzkrapferl hat kostenlosen Webspace.

    13:47, 2.11.2011
    genau das löst aber deine aufgabe wenn du genau drüber nachdenkst was diese wörter bedeuten. probier es mal mit beispielen die du beweist/widerlegst.

    LG

  6. darkpandemic

    Kostenloser Webspace von darkpandemic

    darkpandemic hat kostenlosen Webspace.

    21:33, 2.11.2011
    Hallo chakotay,

    es scheint ja so, dass Du jeden Montag auf dem Schlauch stehst. Gibt es da etwa immer die neuen Übungsblätter?:biggrin:
    Da ich aus eigener Erfahrung weiß, dass es für einen Anfänger sehr schwer sein kann in die Denkweise der Mathematiker einzusteigen will ich Dir erstmal ein paar Tipps geben:
    1. Vergiss Wikipedia! Ich glaube Dir, dass Du verstanden hast, was injektiv und surjektiv bedeutet aber das zählt in der Mathematik leider nicht. Du musst in der Lage sein Beweise zu formulieren und darfst dabei nur Sachen verwenden, die in der Vorlesung oder einem Übungsblatt definiert oder bewiesen wurden. Wenn Du eine Aussage verwenden willst, die nicht in der Vorlesung oder einem Übungsblatt bewiesen wurde, dann musst Du auch den zugehörigen Beweis abliefern oder Du läufst Gefahr 0 Punkte zu kassieren.
    2. Ich empfehle das folgende Büchlein mal zu lesen (besser heute als morgen):
    Das ist o.B.d.A. trivial!
    Es ist ein angenehm zu lesendes Büchlein, das gut und genau erklärt, was übliche mathematische Formulierungen bedeuten und wie man sie korrekt in einem Beweis verwendet. Nebenbei lernt man dabei eben auch, wie man Beweise verfassen sollte und welche Fehler man besser meidet. Das sollte auf jeden Fall helfen Dir Frustration auf Grund von Anfänger- bzw. Flüchtigkeitsfehlern zu ersparen.

    Nun noch ein paar Worte zum Übungsblatt:
    Die erste wichtige Aussage ist schon im ersten Satz. Nämlich, dass f eine Abbildung ist. D.h. Du solltest jetzt eigentlich einen Blick in die Vorlesung werfen und Dir die genaue Definition für 'Abbildung' und eventuell bewiesene Sätze und Lemmas im Zusammenhang mit Abbildungen heraussuchen. Für Aufgabe 1 sollte man noch die Definitionen von 'Teilmenge' und 'Urbild'/'Umkehrabbildung' parat haben.
    Dein Job ist es jetzt alle diese Definitionen, Sätze und Beweise so zusammenzusetzen, dass am Ende das dasteht, was zu Beweisen ist. Das ist in erster Linier ein Geduldsspiel. Wichtig ist, dass Du jeden Deiner Beweisschritte durch die Vorlesung begründest, d.h. Du solltest bei jedem Schritt die Nummer der Definition bzw. des zugrunde liegenden Beweises angeben. Wenn Du zu einem Schritt keine Nummer und auch keinen selbst formulierten Beweis abliefern kannst, dann darfst Du ihn auch nicht machen.
    Der erste Teil von Aufgabe 1 könnte evtl. wie folgt aussehen (keine Garantie, dass es stimmt. Ist bei mir auch schon lange her):

    Formel: \text{Sei } f: X \rightarrow Y \text{ eine Abbildung und } A\subseteq X\text{. Dann gilt:}
    Formel: A \subseteq f^{-1}\left(f\left(A\right)\right)
    Formel: Bew:
    Formel: \text{Weil }f\text{ eine Abbildung ist gilt:}
    Formel: \forall x \in X \exists ! y \in Y : f(x)=y \text{ (1)}
    Formel: \text{Wegen } A \subseteq X \text{ folgt:}
    Formel: \forall a \in A \exists ! y \in Y : f(a)=y \text{ (2)}
    Formel: \text{Sei jetzt } x\in A \text{ beliebig, dann gilt wegen (2):}
    Formel: f\left(x\right) \in f\left(A\right) \text{ (3)}
    Formel: \text{Daraus folgt mit der Definition des Urbildes:}
    Formel: \text{(Nummer bitte aus der Vorlesung übernehmen)}
    Formel: x \in f^{-1}\left(f\left(A\right)\right)
    Formel: \text{Da }x \in A \text{ beliebig gewählt war folgt:}
    Formel: \forall x \in A : x \in f^{-1}\left(f\left(A\right)\right)
    Formel: \Leftrightarrow A \subseteq f^{-1}\left(f\left(A\right)\right)
    Formel: q.e.d

    Der zweite Teil ist dann analog.
    Aufgabe 2 und 3 lassen sich, wie scherzkrapferl bereits angedeutet hat, über Widerspruchsbeweise lösen. D.h. Du behauptest, dass f injektiv ist und es Elemente in X\A gibt, d.d. das Urbild des Bildes Elemente von A enthält. Für den surjektiven Fall macht man es dann genau umgekehrt.
    Aber das ist jetzt Übung für den Studenten ;-)

    Edit: Typo


    Beitrag zuletzt geändert: 3.11.2011 22:33:05 von darkpandemic

  7. darkpandemic

    Kostenloser Webspace von darkpandemic

    darkpandemic hat kostenlosen Webspace.

    10:24, 3.11.2011
    Hallo ttobsen,

    nachdem von f nicht gefordert wurde, dass es eine injektive Abbildung ist, kann auch noch folgende Aussage zutreffend sein:
    Formel: \exists x\in X \setminus A: f(x) \in f(A)
    Diese Aussage könnte man nur mit geforderter Injektivität ausschließen. Daher nur Teilmenge und nicht Gleichheit.

    Edit:
    Desweiteren ist die erste von Dir zitierte Zeile genau die Definition der Teilmenge und eben keine Äquivalenzaussage.
    Die zugehörige Nummer aus der Vorlesung sollte man natürlich auch hier angeben ;-)


    Beitrag zuletzt geändert: 3.11.2011 22:27:35 von darkpandemic

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