Konvergenz von Reihen
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Hallo,
Ich habe verschiedene Reihen und muss Konvergenz beweisen. Wie?
k! * q^k q zwischen 0 und 1
k^3 * q^k ebenfalls hier
(k/(k+1))^k
Jeweils natürlich die Summe über alle k von 0 bis unendlich.
Danke für eure Hilfe! -
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Hi
Beim ersten nimmste das Quotientenkriterium für konvergente Reihe genauso beim zweiten.
Beim zweiten würd ich das Wurzelkriterium nehmen.
Ausrechnen werd ichs dir allerdings nur wenn du wirklich nichtmehr weiterkommst
http://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_%28Mathematik%29#Konvergenzkriterien
Gruß Tobi -
Beim ersten nimmste ...genauso beim zweiten.
Beim zweiten ...
öhm... welches von den beiden "zweiten" ist das "dritte"?
Weswegen Wurzelkriterium? ich hab ja kein Wurzel...
Ist OK, erstens ist ausrechnen mühsam und zweitens muss ichs ja selbst können
thx
fab
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Ups
Also das (k/(k+1))^k ist das dritte.
Das Wurzelkriterium nimmt man nicht wenn man eine Wurzel hat, sondenr ne ganz doofe Potenz wie in deinem Fall. Da 1-1/(k+1) >= 0 für alle k, kannst du dann die Potenz aus dem Betrag herrausziehen und durch die Wuzel hebt sich das auf.
Danach musst du nurnoch entscheiden ob es zu |1-1/(k+1)| ein C € (0,1) welchesgrößer ist als der Ausdruck ab einem gewissen k (und das gibt es gewiss :) ).
Gruß Tobi -
Also die erste Reihe konvergiert ja nun offensichtlich nicht, da die Folge k! * q^k keine Nullfolge ist. Warum, sag ich mal nicht ;)
Beim zweiten k³ * q^k kommt man mit dem Quotientenkriterium zur Lösung, dass die Reihe konvergiert.
Bei der dritten (k/(k+1))^k sagt mir mein Gefühl, dass es nicht konvergiert. Das Wurzelkriterium kann aber keine Aussage darüber machen :
lim (k/(k+1)) < 1 aber es lässt sich keine q < 1 finden mit
lim (k/(k+1)) < q.
vll mal mit Quotientenkriterium versuchen.
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cga schrieb:
Also die erste Reihe konvergiert ja nun offensichtlich nicht, da die Folge k! * q^k keine Nullfolge ist. Warum, sag ich mal nicht ;)
Heureka, das stimmt. Entweder ich hab mich total verlesen oder ich bin strohdoof.
cga schrieb:
lim (k/(k+1)) < 1 aber es lässt sich keine q < 1 finden mit
lim (k/(k+1)) < q.
vll mal mit Quotientenkriterium versuchen.
Hmmm ich hätte da etwas getrickst indem ich zeige das es ein x mit 1-1/(k+1) < x < 1 gibt für jedes k.
Die Frage ist jetzt nur ob es gilt wenn ich mir ein C raussuche das beliebig nah an der 1 ist dann kleiner ist als 1 oder kleiner gleich 1. Dann würde es aber wohl auf das Problem hinauslaufen ob 0,9^(das soll Periode 9 heißen) = 1 ist. Und damit hätte das Wurzelkriterium letztendlich doch verloren.
Gruß Tobi
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ttobsen schrieb:
Hmmm ich hätte da etwas getrickst indem ich zeige das es ein x mit 1-1/(k+1) < x < 1 gibt für jedes k.
mmh...
Das Problem ist, wie du sagst
lim( 1 - 1/(k+1)) = 1
und wir können weder sagen, ob es konvergiert oder divergiert, beides ist möglich! Nur wenn der Limes größer wäre als 1, wüssten wir sicher, dass es divergiert.
Beitrag geändert: 1.11.2007 15:21:50 von cga -
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