lineare abb.
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neueste lin-alg-aufgabe:
Sei Hom(V,W) die Menge aller linearen Abbildungen V ->W. Zeigen, dass es ein Vektorraum ist ist nicht so das Problem (bei üblich definierter Funktionen Addition & Skalarmult), aber seine Dimension berechnen schon! Wie sieht so eine Basis aus? und wie mache ich das mit der Dim-Formel?
Bitte Hilfe...
gruss
fab -
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Eine Basis zu finden ist nicht schwer. Du brauchst im R³ 3 Vektoren, die linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden. Das ist im einfachsten Falle (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).
In dem Fall ist die Dimension auch 3.
Nach Wikipedia:
* Die Dimension ist gleich der Mächtigkeit eines minimalen Erzeugenden Systems
* Die Dimension ist die größtmögliche Anzahl linear unabhängiger Vektoren in einem Vektorraum
http://de.wikipedia.org/wiki/Dimension_%28Mathematik%29
Was mache ich mit der Dim-Formel?
Dazu müssten wir sie schon sehen ;) -
öhm... aber ich hab keinen reellen VR, ich hab einen VR von Funktionen (Menge aller linearen Abb von V auf W)
Eine Basis zu finden ist nicht schwer. Du brauchst im R³ 3 Vektoren, die linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden. Das ist im einfachsten Falle (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).
woher weisst du das?
In dem Fall ist die Dimension auch 3.
Was mache ich mit der Dim-Formel?
Dazu müssten wir sie schon sehen ;)
dim V=dim(Bild(PHI))+dim(Kern(PHI)), wobei PHI eine lineare Abbildung von diesem Hom(V,W) auf ihn selbst ist.
//EDIT: http://de.wikipedia.org/wiki/Dimensionsformel
gruss
fab
Beitrag geändert: 17.12.2007 20:14:39 von fab
Beitrag geändert: 17.12.2007 20:23:09 von fab -
Also ich hab mir gerade dein Übungsblatt angeschaut. Du brauchst ja garnicht mit der Dimensionsformel argumentieren. Diese ist in diesem Fall auch garnicht wirklich anwendbar, da die Dimensionsformel speziell für eine Abbildung V->W gilt. Du müsstest also schon eine Abbildung (V->W)->(V\'->W\') (also eine Abbildungen die Abbildungen abbildet) gegeben haben. Dies ist jedoch nicht der Fall, da du den Vektorraum der Abbildungen betrachtest.
Ich hoff das war gerade kein Schwachsinn.
zum thema beutelsbacher: ja, unser prof schreibt gern aus büchern ab, vor allem auch von ...artin... :-)
zur obigen überlegung: ja, habe ich auch schon gedacht... aber wie sonst?
Wie ich auf die basis komm ist mir noch nicht ganz klar
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fab, poste Aufgaben lieber nicht so kurz bevor du sie abgeben muss, ok?
Beim Beutelspacher (teilweise übrigens hier zu finden http://www.google.de/books?id=jwRNXVpAVV8C&dq) steht auf Seite 147 wie ttobsen gesagt hat die Aufgabe (natürlich ohne Lösung
) drin. Ein paar Seiten vorher zeigt er es aber für den Dualraum, also den VR der linearen Abbildungen V --> IK bzw. die Menge Hom(V, IK).
Wir müssen es für Hom(V, W) zeigen und das ist kein großer Schritt mehr!
Beitrag geändert: 18.12.2007 21:34:46 von cga -
nun, die lösung war bemerkenswert einfach:
Sei n:=Dim(V) und m:=Dim(W)
so ist V isom. zu K^n, W isom. zu K^m (K ist der Körper \"von\" V und W) und phi kann dargestellt werden als linksmult. mit einer Matrix A.
Also können wir einfach die Dimensionen multiplizieren und erhalten Dim[Hom(V,W)]=m*n
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