lineare abb.
lima-city → Forum → Sonstiges → Schule, Uni und Ausbildung
abbildung
aufgabe
basis
bilden
dimension
einfachsten falle
formel
frage
http
lineare abbildung
lineare abbildungen
linearen abbildungen
mache
matrix
matrizen
menge
papier
phi
vektor
zeigen
-
neueste lin-alg-aufgabe:
Sei Hom(V,W) die Menge aller linearen Abbildungen V ->W. Zeigen, dass es ein Vektorraum ist ist nicht so das Problem (bei üblich definierter Funktionen Addition & Skalarmult), aber seine Dimension berechnen schon! Wie sieht so eine Basis aus? und wie mache ich das mit der Dim-Formel?
Bitte Hilfe...
gruss
fab -
Diskutiere mit und stelle Fragen: Jetzt kostenlos anmelden!
lima-city: Gratis werbefreier Webspace für deine eigene Homepage
-
Eine Basis zu finden ist nicht schwer. Du brauchst im R³ 3 Vektoren, die linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden. Das ist im einfachsten Falle (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).
In dem Fall ist die Dimension auch 3.
Nach Wikipedia:
* Die Dimension ist gleich der Mächtigkeit eines minimalen Erzeugenden Systems
* Die Dimension ist die größtmögliche Anzahl linear unabhängiger Vektoren in einem Vektorraum
http://de.wikipedia.org/wiki/Dimension_%28Mathematik%29
Was mache ich mit der Dim-Formel?
Dazu müssten wir sie schon sehen ;) -
öhm... aber ich hab keinen reellen VR, ich hab einen VR von Funktionen (Menge aller linearen Abb von V auf W)
Eine Basis zu finden ist nicht schwer. Du brauchst im R³ 3 Vektoren, die linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden. Das ist im einfachsten Falle (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).
woher weisst du das?
In dem Fall ist die Dimension auch 3.
Was mache ich mit der Dim-Formel?
Dazu müssten wir sie schon sehen ;)
dim V=dim(Bild(PHI))+dim(Kern(PHI)), wobei PHI eine lineare Abbildung von diesem Hom(V,W) auf ihn selbst ist.
//EDIT: http://de.wikipedia.org/wiki/Dimensionsformel
gruss
fab
Beitrag geändert: 17.12.2007 20:14:39 von fab
Beitrag geändert: 17.12.2007 20:23:09 von fab -
zwiebeldoener schrieb:
Eine Basis zu finden ist nicht schwer. Du brauchst im R³ 3 Vektoren, die linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden. Das ist im einfachsten Falle (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).
In dem Fall ist die Dimension auch 3.
In diesem Fall ist das nicht so einfach. Die Vektoren in seinem Vektorraum sind eben lineare Abbildungen. Das heißt man braucht einen Satz linear unabhängiger Abbildungen.
Tipp am Rande: Im Beutelspacher auf Seite 147 ist die gleiche Aufgabe gestellt ;)
zwiebeldoener schrieb:
Was mache ich mit der Dim-Formel?
Dazu müssten wir sie schon sehen ;)
Ich denke mal das er diese Formel meint:
dim V = dim(ker L) + dim(im L) mit ker als Kern der Abbildung und im als Bild der Abbildung.
Aber zuerst mal zur Basis:
Frage die man sich stellen muss: wieviele feste L\'s brauch ich um jede andere Lineare Abbildung mit V->W erstellen zu können? Um sich das klarzumachen sollte man sich vielleicht die Lineare Abbildung als Matrix vorstellen. Mit n = dim(V) und m = dim(W) hat man eine m x n Matrix. Du hast jetzt eine beliebige Matrix X mit m x n. Die Basis Matizen nenn ich mal b_1, b_2, ...
Stellst du also man die Gleichung auf: X = summe i=1 bis y a_i b_i siehst du also das du für jeden Eintrag der Matrix X eine Basismatrix b_1 brauchst. Hast du weniger Matrizen so gilt die Linearität von X nicht mehr (falls es total unverständlich ist Tipp ichs dir in LaTex ab, aber mach einfach mal ein Beispiel aufm Papier mit ner 3x2 Matrix oder so). Um das zu zeigen würd ich einfach einen Induktionsbeweis machen oder brachiale Matrizenrechnung.
Die Moral von der Geschicht: L Element aus Hom(V,W) entspricht einer m x n Matrix, besitzt somit m*n Einträge und du benötigst daher m*n Basisvektoren. Die Dimension des Vektorraums beträgt somit: m*n.
Jetzt musst du das aber mit der Formel machen (sofern das die richtige ist). Da ich mir da nicht ganz sicher bin stell ich das mal zurück (und probiers auf nemm Fresszettel mal) oder warte bis cga es beantwortet
Gruß Tobi
Edit: irgendwie dahcte ich mir das ich zu lange brauch für mein Posting und daher die Hälfte meiner Fragen beantwortet werden :)
Edit 2:
Also ich hab mir gerade dein Übungsblatt angeschaut. Du brauchst ja garnicht mit der Dimensionsformel argumentieren. Diese ist in diesem Fall auch garnicht wirklich anwendbar, da die Dimensionsformel speziell für eine Abbildung V->W gilt. Du müsstest also schon eine Abbildung (V->W)->(V\'->W\') (also eine Abbildungen die Abbildungen abbildet) gegeben haben. Dies ist jedoch nicht der Fall, da du den Vektorraum der Abbildungen betrachtest.
Ich hoff das war gerade kein Schwachsinn.
Gruß Tobi
Beitrag geändert: 17.12.2007 21:02:42 von ttobsen -
Also ich hab mir gerade dein Übungsblatt angeschaut. Du brauchst ja garnicht mit der Dimensionsformel argumentieren. Diese ist in diesem Fall auch garnicht wirklich anwendbar, da die Dimensionsformel speziell für eine Abbildung V->W gilt. Du müsstest also schon eine Abbildung (V->W)->(V\'->W\') (also eine Abbildungen die Abbildungen abbildet) gegeben haben. Dies ist jedoch nicht der Fall, da du den Vektorraum der Abbildungen betrachtest.
Ich hoff das war gerade kein Schwachsinn.
zum thema beutelsbacher: ja, unser prof schreibt gern aus büchern ab, vor allem auch von ...artin... :-)
zur obigen überlegung: ja, habe ich auch schon gedacht... aber wie sonst?
Wie ich auf die basis komm ist mir noch nicht ganz klar
-
fab schrieb:
zur obigen überlegung: ja, habe ich auch schon gedacht... aber wie sonst?
Welche meinst du genau?
fab schrieb:
Wie ich auf die basis komm ist mir noch nicht ganz klar
Also Basis = linear unabhängiges Erzeugendensystem mit z Basisvektoren. Deine Vektoren sind in diesem Fall lineare Abbildungen.
Nimm mal ein Stückchen Papier und Kritzle zwei beliebige 3x2 Matrix hin. Und dann überlege dir wieviele Basisabbildungen (3x2 Matrizen) du brauchst um diese beiden 3x2 Matrizen hinzuschreiben, nur unter Veränderung der Matrizen Vorfaktoren.
Wichtig dazu sind die Definition:
Sei A und B zwei m x n Matrizen so gilt: (A + B)_ij = A_ij + B_ij
und sei k ein Körperelement so gilt: k A_ij = (k A)_ij
Gruß Tobi -
fab, poste Aufgaben lieber nicht so kurz bevor du sie abgeben muss, ok?
Beim Beutelspacher (teilweise übrigens hier zu finden http://www.google.de/books?id=jwRNXVpAVV8C&dq) steht auf Seite 147 wie ttobsen gesagt hat die Aufgabe (natürlich ohne Lösung
) drin. Ein paar Seiten vorher zeigt er es aber für den Dualraum, also den VR der linearen Abbildungen V --> IK bzw. die Menge Hom(V, IK).
Wir müssen es für Hom(V, W) zeigen und das ist kein großer Schritt mehr!
Beitrag geändert: 18.12.2007 21:34:46 von cga -
nun, die lösung war bemerkenswert einfach:
Sei n:=Dim(V) und m:=Dim(W)
so ist V isom. zu K^n, W isom. zu K^m (K ist der Körper \"von\" V und W) und phi kann dargestellt werden als linksmult. mit einer Matrix A.
Also können wir einfach die Dimensionen multiplizieren und erhalten Dim[Hom(V,W)]=m*n
-
Diskutiere mit und stelle Fragen: Jetzt kostenlos anmelden!
lima-city: Gratis werbefreier Webspace für deine eigene Homepage
