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Lineare Unabhängigkeit

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  1. Autor dieses Themas

    f*b

    Hallo
    Schon mein zweiter Post zu diesem Übungsblatt :)

    Wie finde ich lineare Unabhängigkeit heraus, wenn es sich beim Vektorraum um die stetigen Funktionen auf (0,1) handelt?

    Konkret: Beweise lin. unabh. bei x^3, sin(x) und cos(x)

    gruss
    fab


    Beitrag geändert: 1.12.2007 18:17:05 von fab
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  3. Hi

    das machste so wie bei Vektoren. Die musst zeigen das:

    ax^3 + b sin(x) + c cos(x) = 0 für alle x Element (0,1) (heißt das bei dir offenes Intervall?)

    nur dann wenn a=0, b=0, c=0.

    Da brauchste vielleicht etwas Kreativität. Darfst du Ableitungen verwenden? Das könnte das ganze etwas vereinfachen weil du dann zeigen kannst das die 0 nur lokal für bestimmte x Werte gilt und somit a,b,c abhängig von x sind (und das darf nciht sein).

    Gruß Tobi

  4. c*a

    Ich wuerde das ganz einfach so machen : Waehle drei Werte aus (0, 1) aus z.B. 0.1, 0.5, 0.9 (oder Brueche von
    Pi, damit sin(x) und cos(x) einfach zu berechnen sind)

    Loese das Gleichungssystem nach a, b, c auf :
    a sin(0.1) + b cos(0.1) + c (0.1)^3 = 0
    a sin(0.5) + b cos(0.5) + c (0.5)^3 = 0
    a sin(0.9) + b cos(0.9) + c (0.9)^3 = 0

    wenn nur die Loesung a = b = c = 0 existiert, kann man die Funktion f(x) = 0 an diesen Stellen, nicht durch eine Linearkombination von sin(x), cos(x), x^3 darstellen. Selbst wenn es ueberall sonst passt, bei x, y, z passt es nicht und das reicht aus um sagen zu koennen, dass fuer

    a sin(x) + b cos(x) + c^3 = 0

    nur die triviale Loesung existiert, also sind die Funktionen linear unabhaengig.
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