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Polynomgleichung aus 3 punkten

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  1. Autor dieses Themas

    konnsy

    konnsy hat kostenlosen Webspace.

    Hallo,

    kann mir jemand eine Gleichung sagen, mit der ich a,b und c errechnen will
    und drei Punkte gegeben habe?
    Dabei meine ich nicht mit konkreten Zahlen rechnen, sondern nur als Formel

    also a=[..], b=[...], c=[..]

    ich bin an dieser Aufgabe schon länger dran, aber ich schaffe es einfach nicht,
    da beim einsetzen der variablen immer in einer schleife neue Variablen in einer
    Gleichung enstehen.

    Danke im Voraus für eure Hilfe
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  3. w******s

    Meinst du eine quadratische Gleichung mit ax² + bx +c = 0. Das würde ja mit der abc-Formel funktionieren. Aber da errechnest du auch nicht a,b,c sondern eben x.

    Wenn du allerdings von dieser Form ausgehst: f(x)= ax² + bx +c und nun 3 Punke einsetzt erhältst du drei unterschiedliche Gleichungen mit
    I: y_1 = ax_1² + bx_1 +c
    II: y_2 = ax_2² + bx_2 +c
    III: y_3 = ax_3² + bx_3 +c

    Die Vorgehensweise wäre hier: Du formst (I) nach c um und setzt es in (II) und (III). Dann haben diese nur noch a und b drin als Variablen. Dann stellst du beispielsweise (II) nach b um und setzt es dann in (III). Somit hat (III) nur noch a drin.
    Dann rückwärts wieder einsetzen um die restlichen zu errechnen. Viel Spaß!
  4. Autor dieses Themas

    konnsy

    konnsy hat kostenlosen Webspace.

    Ich denke dann werd ich das ganze nochmal versuchen mit variablen,
    aber falls jemandem wirklich die endgleichungen bekannt sind wäre
    ich sehr dankbar, wenn er/sie diese hier schreiben könnten^^
  5. konnsy schrieb:
    aber falls jemandem wirklich die endgleichungen bekannt sind wäre
    ich sehr dankbar, wenn er/sie diese hier schreiben könnten^^


    Wir wären dir überraus dankbar wenn du wenigstens dein Problem vernünftig schildern würdest. Schreib was gegeben sein soll und was du hinterher haben willst und zwar mit vernünftigen Sätzen (dein erstes Posting ist alles andere als vernünftiges Deutsch).

    Ein Beispiel zur Veranschaulichung hat auch noch nie geschadet.

    Gruß Tobi
  6. Autor dieses Themas

    konnsy

    konnsy hat kostenlosen Webspace.

    Also gegeben sind drei punkte P1(x1/y1), P2(x2/y2), P3(x3/y3)
    Aus diesen drei Punkten soll eine Polynomgleichung zweiten Grades entstehen,
    wobei das Ergebnis nur Variablen enthalten soll.

    Mein Ansatz ist der gleiche den Werktags auch genannt hat:
    I: y_1 = ax_1² + bx_1 +c
    II: y_2 = ax_2² + bx_2 +c
    III: y_3 = ax_3² + bx_3 +c


    Mein Problem dabei ist, dass ich, wenn ich die für eine der Variablen
    (z.B. a aus ersten Gleichung ) die Variable einer Anderen (z.B b aus der
    zweiten Gleichung) einsetze, immer wieder andere Variablen erhalte,
    die durch das Einsetzten in die neue Gleichung entstehen.
    Um die gleichung aber so umzuformen, das ich am Ende eine Gleichung
    wie a = [gleichung1], b = [gleichung2], c=[gleichung3] und schließlich
    f(x)=ax²+bx+c. Wichtig! Das ganze soll nur mit Variablen geschehen.


  7. Ok jetzt ist es verstanden.

    Also das Problem ist ziemlich einfach. Du hast schonmal korrekt erkannt

    I: y_1 = ax_1² + bx_1 +c
    II: y_2 = ax_2² + bx_2 +c
    III: y_3 = ax_3² + bx_3 +c


    Du hast somit die unbekannten a, b und c. Und du hast 3 Gleichungen. Das bedeutet dein Gleichungssystem ist lösbar und sogar linear. Daher machst du einfach das gaußsche Eliminationsverfahren.

    Ich bekomm da herraus:

    Formel: a = \frac{y_3 - y_1}{\left(x_3 - x_1\right) \left(x_3 - x_2\right)} - \frac{y_2 - y_1}{\left(x_2 - x_1\right) \left(x_3 - x_2\right)}

    Formel: b = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} - \left(x_2 + x_1\right) \cdot a

    Formel: c = y_1 - x_1^2 \cdot a - x_1 \cdot b

    Hab ein Beispiel mit den Punkten (0,2), (-5, -3) und (4,1) gerechnet und erhalte

    a = -5/36
    b = 11/36
    c = 2

    herraus und wenn ich mir die PArabel anschaue gehen auch alle 3 Punkte da durch. Ich würde sagen das stimmt so :)

    Kleiner Tipp beim Umstellen:

    1.) Die erste Gleichung nach c umstellen.
    2.) Die erste umgestellte Gleichung in die beiden anderen einsetzen, dadurch erhalt man zwei Gleichungen mit den Unbekannten a und b.
    3.) Terme Zusammenfassung und Teilen unter Verwendung der dritten binomischen Formel.
    4.) Nach b Umstellen, und Einsetzen. Der Rest ist ein Kinderspiel.

    Gruß Tobi
  8. Autor dieses Themas

    konnsy

    konnsy hat kostenlosen Webspace.

    Super! Das ist genau das was ich gesucht und auch nach
    einigen Rechnungen nicht hinbekommen habe.

    Danke für die Mühe, Tobi :-)
  9. konnsy schrieb: Super! Das ist genau das was ich gesucht und auch nach
    einigen Rechnungen nicht hinbekommen habe.

    Danke für die Mühe, Tobi :-)


    Keine Ursache.

    Die Aufgabe hat mich selbst etwas neugierig gemacht. Theoretisch müssten ja zwei Punkte ausreichen, wenn man fordert dass die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist. Bin mal gespannt wie das funzt.

    Gruß Tobi
  10. w******s

    ttobsen schrieb: Die Aufgabe hat mich selbst etwas neugierig gemacht. Theoretisch müssten ja zwei Punkte ausreichen, wenn man fordert dass die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist. Bin mal gespannt wie das funzt.

    Das wäre doch nur so, wenn a nur die Werte -1 bzw +1 annehmen könnte. Ansonsten brauch man doch wieder drei Punkte, oder versteh ich da was falsch?
  11. Nein das wäre nicht zulässig. Wenn ich a als -1 oder +1 vorgebe könnte ich nicht mehr 2 beliebige Punkte nehmen die mir eine Parabel ergeben (z.B. das Punktepaar (0,0) und (3,1) ). a gibt ja nicht nur die Öffnungsrichtung an, sondern auch die Breite der PArabel, und diese muß ich natürlich mitskalieren. Du kannst dir das so vorstellen:

    Du zeichnest ein Koordinatensystem und zeichnest 2 beliebige Punkte ein. Nun hast du die Möglichkeit eine nach oben oder eine nach unten geöffnete Parabel einzuzeichnen (du hst nur diese beide Möglichkeiten!). Und ich möchte nun eine Formel in Abhängigkeit von 2 Punkten im Koordinatensystem, welche mir die Gleichung der nach oben geöffneten Parabel durch diese 2 Punkte darstellt.

    Aber jetzt hab ich mir die Lösung glaub selbst gegeben, weil ich die Gleichung ja genauso konstruieren kann.

    Gruß Tobi

    Beitrag zuletzt geändert: 17.6.2009 23:41:32 von ttobsen
  12. w******s

    Ne, verstehe es nicht ganz. Warum sollte sowas nicht möglich sein?

    Obwohl mich das ganze an etwas erinnert, was ich einmal gelesen hab. Und zwar ging es darum aus einem Graphen eine Funktion zu machen. Das war immer dann einfach möglich, wenn man eindeutig ablesbare Nullstellen hat und dann mit Linearfaktoren arbeitet. Da braucht mal dann allerdings auch wieder noch einen Faktor für das "Stauchen".
  13. Oh du hast vollkommen recht. Ich hab mich beim Konstruieren zu sehr eingeschränkt, da ich immer nur die Direktverbdingun genommen hab und nicht daran gedacht dass zwischen den beiden Punkten noch ein Tiefpunkt liegen kann.

    Interessant ist, dass das ganze auch eine enorm wichtige Anwendung hat (hab ich heut durch Zufall gelesen und möchts der Vollständigkeit hier berichten).

    Man hat zum Beispiel N Messwerte. Und durch die möchte man nun ein Polynom M-1-ten Grades legen. Dann kann man die Fehlerquadrate aufaddieren (ich nenns mal E) um zu schauen wie gut das Polynom an die Messwerte angepasst wurde. Wenn man nun N = M hat so gibt es genau eine Lösung, bei der das Polynom auf die Messwerte passt, mit E=0. Und genau das hat man da oben gemacht, mit N=3 und M=3.

    Benötigt wird das unter anderem in der digitalen Signalvearbeitung. Ein ganz konkretes Beispiel hab ich leider keins am Start. Wenn ich aber im Buch etwas weiter bin post ich mal eins.

    Gruß Tobi

    Beitrag zuletzt geändert: 19.6.2009 12:23:20 von ttobsen
  14. w******s

    ttobsen schrieb: Man hat zum Beispiel N Messwerte. Und durch die möchte man nun ein Polynom M-1-ten Grades legen. Dann kann man die Fehlerquadrate aufaddieren (ich nenns mal E) um zu schauen wie gut das Polynom an die Messwerte angepasst wurde. Wenn man nun N = M-1 hat so gibt es genau eine Lösung, bei der das Polynom auf die Messwerte passt, mit E=0. Und genau das hat man da oben gemacht, mit N=3 und M=3.
    Da komm ich nicht so ganz mit, wieso will man ein Polynom M-1ten Grades, wenn man N Messwerte hat. Also woher kommt dieses M?
    Naja, bis ich genau verstehe, was damit gemeint ist, muss ich wohl noch en bisschen warten...
  15. Ganz einfach. Bei Polynome fängt man bei 0 an zu zählen. Ich hab mich jedoch verschrieben, man hat natürlich genau eine Lösung wenn M = N ist.

    Hat man zum Beispiel N=1 Messwert, so kann man den Messwert mit dem Polynom N=M => 0-ten Grades beschreiben, also einer Konstanten c, die durch diesesn Messwert geht.

    Hat man 2 Messwerte so kann man durch beide Messwerte eine Gerade legen, bei 3 Messpunkten eine Parabel (wie wir das oben gemacht haben), usw.

    Gruß Tobi
  16. w******s

    Aber ich kann doch nicht daraus schließen, wenn ich N=3 Messwerte habe, da auch gleich ein Polynom 2. Grades daraus zu machen: Bsp.

    Ich kann zwar bei 3 Messwerten ne Parabel durchziehen, aber ob das dann immer Sinn macht. So könnte ich ja auch etwas proportionales falsch deuten?
  17. Wenn du 3 Punkte hast kannst du IMMER das Gleichungssystem lösen und somit bekommst du immer ein Polynom dritten Grades (ausgenommen x1, x2, x3 sind paarweise gleich, dann ist das LGS nichtmehr lösbar).

    Bei deinen Beispielen würd ich mal versuchen die Parabeln nach unten zu öffnen. Wenn man dass halt so flachs hinzeichnet passt das nie schön rein.

    Wenn die Punkte auf einer Höhe oder einer Gerade liegen, dann hast du auch ein Polynom zweiten grades, nur eben mit dem Vorfaktor vor x, bzw. x² der 0 ist. Die Menge aller Polynomen ersten Grades ist eine echte Teilmenge von Polynomen ersten Grades. Sprich ein Polynom ersten Grades kannst du als Polynom zweiten Grades ansehen mit a=0 (ich hoff mal das stimmt so, wenn nicht wird einer der reinen Mathematik Cracks heir schon meckern :) ).

    Gruß Tobi

    PS: Ich hatte erst ein viel tollerer Beitrag, aber dan hab ich m:frown:ich verklickt und hab in diesen Tab eine andere seite reingeladen

    Bei manchen Seite werden die Formulardaten wiederhergestellt wenn man auf zurück geht. Wieso nur hier nicht? :(
  18. ttobsen schrieb: Wenn du 3 Punkte hast kannst du IMMER das Gleichungssystem lösen und somit bekommst du immer ein Polynom dritten Grades (ausgenommen x1, x2, x3 sind paarweise gleich, dann ist das LGS nichtmehr lösbar).

    Kleiner Tippfehler, oder ich steh gerade auf dem Schlauch?: Bei 3 Punkten kann man das GS immer lösen, bekommt aber ein Polynom zweiten Grades heraus, oder?

    Sprich ein Polynom ersten Grades kannst du als Polynom zweiten Grades ansehen mit a=0

    Da stimm' ich dir zu.

    MfG madhouse
  19. c****s

    madhouse schrieb:
    Sprich ein Polynom ersten Grades kannst du als Polynom zweiten Grades ansehen mit a=0

    Da stimm' ich dir zu.

    MfG madhouse


    Hm, hm, hm. Ich glaube nicht wirklich. Jedes Polynom lässt sich wie folgt schreiben:

    Formel: p = \sum_{\nu=0}^\infty a_\nu \xi^\nu

    Der Grad (die Ordnung) eines Polynoms ist nun definiert als

    Formel: O(p) = \nu \Leftrightarrow a_\nu \neq 0 \wedge a_\mu = 0 \: \forall \mu > \nu

    Würde man die Einschränkung Formel: a_\nu \neq 0 weglassen, dann hätte jedes Polynom unendlich viele Grade (Ordnungen), sprich eine Parabel wäre ein Polynom 2. Ordnung, 3. Ordnung, 4. Ordnung etc. pp. Damit wäre der Begriff des Grades (der Ordnung) sinnlos geworden.

    Also, ein Polynom n-1-ten Grades, ist kein Polynom n-ten Grades mit a(n) = 0.
  20. m******s

    @census:

    Du hast generell recht, deswegen spricht man ja für gewöhnlich auch vom "Raum aller Polynome mit Grad kleinergleich n" und nicht von den "Polynomen n-ten Grades". Für die Diskussion ist es aber imho irrelevant...
  21. Diskutiere mit und stelle Fragen: Jetzt kostenlos anmelden!

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