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Problem bei Sekanten-Tangentensatz

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  1. Autor dieses Themas

    x*****k

    21:34, 13.1.2009
    Hallo Leute.

    Ich habe nächstens eine Mathematikprüfung, wo es so um Ähnlichkeitssätze und so geht.

    Ich löse gerade eine Testaufgabe, und da kommt mir eine Überlegung in den Sinn.

    Die Aufgabe:
    Wie gross ist die Blickweite von einem 80m hohen Leuchtturm auf das Meer? (Erdradius 6370 km)
    http://x-black.lima-city.de/geometrie.JPG

    Musterrechnung:
    PA = 80m
    PB = 2*6370000m = 1'274'000 (weil Erddurchmesser)
    PA * PB = (PE)^2
    also
    800m * 1274000m = (31'924.9119m)^2

    Meine Überlegung ist aber, da ja PA in PB enthalten ist, zu PB noch 80m hinzuzuzählen, also so:
    PA = 80m
    PB = 2*6'370'000m+80m = 12'740'080m (weil Erddurchmesser und noch Leuchtturm[PA] )
    800m * 1'274'080m = (31'925,9142m)^2
    Ist meine Überlegung da richtig? Wenn nein, warum nicht?

    mfg x-bLacK 8D

    Beitrag zuletzt geändert: 14.1.2009 17:38:59 von x-black

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  3. prog

    Kostenloser Webspace von prog

    prog hat kostenlosen Webspace.

    21:50, 13.1.2009
    Die richtige Formel lautet:

    s = Sichweite
    r = Erdradius
    h = Höhe des Leutturms

    Formel: s=\sqrt{2rh+h^2}
    Das "- h^2 " kannst du aber weglassen, da dies nur tausenstel Prozent unterschied macht, da das vordere Glied ja so riesig ist.

    Beispiel:
    s = gesucht
    r = 6370 000 m
    h = 80 m

    Genau:
    Formel: s = \sqrt{2*6370000m * 80m + (80m)^2}
    Formel: s = \sqrt{1019200000m^2 + 6400m^2}
    Formel: \(s_1\) = 31924,81167m = 31,9km

    Ungenau:
    Formel: s = \sqrt{2*6370000m * 80m}
    Formel: s = \sqrt{1019200000m^2}
    Formel: \(s_2\) = 31924,9119m = 31,9km
    Genauigkeit: 99,999686 %


    Viele Grüße,
    Prog

    Beitrag zuletzt geändert: 15.1.2009 13:03:03 von prog
  4. Autor dieses Themas

    x*****k

    17:38, 14.1.2009
    Vielen Dank für deine Lehrreiche Antwort.

    Warum ist dann die "grosse" Differenz da, zwischen unserer Musterrechnung und deiner Lösung?
    Wurde deine Antwort ebenfalls mit dem Sekanten-Tangentensatz gelöst? Also ist
    Formel: s=\sqrt{2rh-h^2}
    das eine "Weiterverarbeitung" des Sekanten-Tangentensatzes?

    Und was wäre jetzt eigentlich richtig?
    http://x-black.lima-city.de/geometrie.JPG
    Wenn hier PB 2r + 80m (also Leuchtturm PA) wäre, oder muss es, wie in unserer Lösung NUR 2r sein?

    mfg x-bLacK :cool:

    Beitrag zuletzt geändert: 14.1.2009 17:38:44 von x-black

  5. prog

    Kostenloser Webspace von prog

    prog hat kostenlosen Webspace.

    18:59, 14.1.2009
    Woher kommen denn bei dir die 800m mit denen du multiplizierst?


    Musterrechnung:
    PA = 80m
    PB = 2*6370000m = 1'274'000 (weil Erddurchmesser)
    PA * PB = (PE)^2
    also
    800m * 1274000m = (31'924.9119m)^2

    Wurde deine Antwort ebenfalls mit dem Sekanten-Tangentensatz gelöst?

    Nein, das wurde nicht mit dem Satz gelöst, sondern mit Pythagoras.

    Ich bin mir nicht sicher, ob du den Satz auch richtig angewandt hast / ob man das damit überhaupt rechnen kann:
    http://de.wikipedia.org/wiki/Sekantentangentensatz

    Viel einfacher kannst du das mit Pytagoras rechnen:

    Die Hypothenuse c = radius + turmhöhe
    Die Kathete a = radius

    Die übrige Kathete ist die gesuchte Sichtweite.
    Grafik: http://prog.lima-city.de/html/images/tmp/turm_rechnung.png

    Das ergibt dann die Formel

    Formel: (r+h)^2 = r^2 + s^2
    Formel: s^2 = (r+h)^2 + r^2

    Jetzt gibt es da noch so schöne Binomische Formeln

    Formel: s^2 = r^2 +2rh + h^2 + r^2
    Nun kann man r^2 kürzen
    Formel: s^2 = 2rh + h^2
    Daraus dann die Wurzel
    Formel: s = \sqrt{2rh + h^2}

    Ich hoffe, ich konnte es dir verständlich erklären.

    PS: Mit welchem Programm hast du die Grafik erstellt? Meine ist mit Gimp und schaut nicht so toll aus.

    Grüße,
    Prog

    Beitrag zuletzt geändert: 15.1.2009 13:02:21 von prog

  6. c*****s

    0:01, 15.1.2009
    prog schrieb:
    Jetzt gibt es da noch so schöne Binomische Formeln

    Formel: s^2 = r^2 +2rh + h^2 - r^2
    Nun kann man r^2 kürzen
    Formel: s^2 = 2rh - h^2
    Daraus dann die Wurzel
    Formel: s = \sqrt{2rh - h^2}

    Ich hoffe, ich konnte es dir verständlich erklären.

    PS: Mit welchem Programm hast du die Grafik erstellt? Meine ist mit Gimp und schaut nicht so toll aus.

    Grüße,
    Prog
    Die Frage ist, wie du von Formel: s^2 = r^2 + 2 r h +h^2 -r^2 auf Formel: s^2 = 2rh - h^2 kommst und nicht auf Formel: s^2 = 2rh + h^2 ;)

  7. prog

    Kostenloser Webspace von prog

    prog hat kostenlosen Webspace.

    13:01, 15.1.2009
    Hast recht, hab ich total übersehen. Das muss + h^2 heißen. Macht aber trotzdem praktisch keinen Unterschied.

    Ich habs oben ausgebessert.

    Grüße,
    Prog

  8. c*****s

    18:07, 15.1.2009
    die wirkliche Sichtweite ist ja sowieso viel weiter, da die Atmosphäre die Lichtstrahlen krümmt.

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