Tangenten-Aufgabe: need help
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Hey, unser Mathelehrerin hat uns heute ne ziemlich schwere Aufgabe aufgegeben.
Ich kriegs einfach nicht hin. Überleg schon seit ner Stunde rum...
Also:
Ich habe eine Parabel mit f(x) = X² - 4X + 9
Gesucht sind die Tangenten die durch den Ursprung (Origin\ (0/0) ) gehen.
ich hab mir das so gedacht: Y = mx + c
Y muss 0 sein, X auch... außerdem muss c auch null sein, da die tangente die Y-Achse bei 0 schneidet.
dann heißt das 0 = m*0 + 0
Des doofe is jetzt, dass m eben alles sein kann, und mich das nicht weiterbringt.
Bitte helft mir!
Und noch was: bin ich einfach nur doof, oder is des WIRKLICH schwer??
Danke, Gruß Martin
PS: Ich will für meine Dummheit nicht auch noch Gulden haben, wär wohl im Spamforum besser aufgehoben
Beitrag geaendert: 8.3.2007 16:39:46 von martix -
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Hey :-)
die Schwierigkeit hängt von deiner Klassenstufe ab ^^
Denke mal du bist in der 11 (oder 10.) und ihr habt/fnagt gerade mit Ableitungen an.
Also bildest du die 1.Ableitung f'(x)=2x-4
Die setzt du in die Geradengleichung ein: y=(2x-4)*x= 2x²-4x (c ist ja 0)
dann diese mit f(x) gleichsetzen x²-4x+9=2x²-4x
x1= 3 x2= (-3)
Dann noch für die zugehörigen punkte y ausrechnen und ne gearde zwischen Punkt und Ursprung legen ;)
MfG
Jai
-
bei einer Ursprungsgerade ist c=0, also hast du:
f(x) = x^2 - 4x + 9
g(x) = m*x
Einen Schnittpunkt errechnest du, indem du die Funktionen gleichsetzt:
f(x) = g(x)
Bei einem Berührpunkt (die Tangente ist ja eine Gerade, die die Funktion nur berührt) müssen auch die Steigungsfunktionen (also die 1. Ableitungen) gleich sein:
f'(x) = g'(x)
wobei
f'(x) = 2x - 4
g'(x) = m
Dann hast du also ein lineares Gleichungssystem:
(I) x^2 - 4x + 9 = m*x
(II) 2x - 4 = m
jetzt setzt du m in (I) ein:
x^2 - 4x + 9 = (2x-4)*x
x^2 - 4x + 9 = 2x^2-4x |+4x
x^2 + 9 = 2x^2 |-x^2
9 = x^2 |Wurzel
x = 3 oder x = -3
Jetzt kannst du m berechnen:
m = 2x - 4
m = 2*3 - 4 oder m = 2*(-3) - 4
m = 2 oder m = -10
also sind deine Tangenten:
y = 2x und y = -10x
edit
zu langsam...
Beitrag geaendert: 8.3.2007 16:52:29 von sandrock-jonas -
Dann noch für die zugehörigen punkte y ausrechnen und ne gearde zwischen Punkt und Ursprung legen
Zwei Geraden... :D -
Jup die Ergebnisse stimmen!!!
Geil! Vielen Dank!!!
Also ich bin wohl doch zu dumm^^ Bin in der 11. Klasse und wir haben Ableitungen seit über nem halben Jahr...
Also erstens müssen sich die tangenen schneiden, f(x) gleichsetzen
zweitens muss die Tangente die gleiche steigung wie die parabel an der stelle haben, logisch, also f'(x) gleichsetzen. Man muss nur draufkommen...
Ich habs immerhin jetzt auch kapiert =)
Nochmal vielen Dank!
Und vor allem so schnell! Genial! Danke!
Beitrag geaendert: 8.3.2007 17:13:41 von martix -
pervamon schrieb:
Dann noch für die zugehörigen punkte y ausrechnen und ne gearde zwischen Punkt und Ursprung legen
Zwei Geraden... :D
die andere ist ja nur ne Spiegelung davon...nen bisschen kann er ja auch selbst rechnen :D -
Ich war zwar zu langsam, hier aber trotzdem meine Lösung:
f(x) = x² + 4x + 9
g(x) = mx + t
t = 0, da Gerade durch Ursrpung geht
g(x) = mx
Tangente heißt: Nur einen Schnittpunkt beider Funktionen.
f(x) = g(x)
x² + 4x + 9 = mx
x² + 4x - mx + 9 = 0
x² + x(4 - m) + 9 = 0
Lösungsformel:
Diskriminante D = b² - 4ac
D = (4-m)² - 4*1*9
D = 16 - 8m - m² - 36
D = m² - 8m - 20
Es darf nur eine Lösung herauskommen, also muss D = 0 sein. (D > 0: zwei Lösungen, D < 0: keine Lösung)
m² - 8m - 20 = 0
Mit Lösungsformel lösen:
D = 64 + 4*20 = 144
m = (8 +- Wurzel(144)) : 2
m = (8 +- 12) : 2
1. Möglichkeit für m: m = (8 + 12) : 2 = 10
1. Möglichkeit für m: m = (8 - 12) : 2 = -2
Somit ergeben sich zwei mögliche Tangenten:
1.) y = 10x
2.) y = -2x -
Halt, gespiegelt isses nich (jedenfalls nich an der Y-Achse) merkt man ja schon an den Steigungen.
Danke für die vielen Antworten!
Ihr seid echt nicht schlecht!!! -
martix schrieb:
Halt, gespiegelt isses nich (jedenfalls nich an der Y-Achse) merkt man ja schon an den Steigungen.
Danke für die vielen Antworten!
Ihr seid echt nicht schlecht!!!
okay, sorry aber hab nur kurz im Kopf gerechnet und mal geistig vorausgesetzt sie wäre symetrisch.
Aber Ableitungen werden nacher auch noch häufig gebraucht, solltest dich mal drum kümmern ;)
MfG -
Ja ich weiß:
Wollt ich vorher nich sagen, aber in den Kurztests hatte ich zwei einsen.
Also kapiern tu ichs eigentlich im Gesamten schon.
vll hab ich heut auch n schlechten Tag, oder ich muss einfach wirklich noch bissl mehr üben.
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