Volumen- und Flächenintegrale
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Hallo,
Mich nervt, dass zwar in den Physikeinführungsvorlesungen immer Volumen- und Flächenintegrale berechnet werden, aber ich keine Ahnung hab, wie ich so eins ausrechnen muss...
Kann mir jemand erklären, wie man das macht oder mir einen Link geben zu einer Seite, auf der es erklärt wird?
Danke!
gruss
fab -
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Kennst du die Seite \"Google ist dein Freund\"? ;)
Erstmal kannste bei Wikipedia gucken, ich empfehle da besonders die Weblinks [1], z.B. [2]. Und ansonsten natürlich: Google! [3]
[1] http://de.wikipedia.org/wiki/Integralrechnung#Weblinks
[2] http://www.mathematik.net/Integ-1/ia-001.htm
[3] http://www.google.com/search?hl=de&q=berechnung%20von%20integralen
Beitrag geändert: 27.2.2008 22:43:46 von dev -
naja. prinzipiell ist das ja ganz einfach. allerdings weiß ich nicht was das mathematischer stand ist?!
Wenn du weißt, wie man funktionen ableitet, dann erklärt sich das integrieren eher, da es oft auch als \"aufleiten\" bezeichnet wird..
Allerdings wüsste ich jetzt nicht so viele beispiele, bei denen das in der physik vorkommt?? das wahrscheinlich bekannteste ist, dass das intergral der kraft, die energie ergibt.
lg -
Ja, Flächenintergrale sind ja nun garnicht schwer :)
Ich weiß sogar wies geht ^^
Aber ich glaube dass es schwer ist das in einem Forum ist sowas zu erklären. ^^ -
In der Schulphysik gibt es nicht viele Integrale zu berechnen, das stimmt schon. Aber in der Hochschulphysik sieht das schon anders aus. Überleg mal, dass du praktisch immer Integrale brauchst, wenn du irgendas mit kontinuierlicher Verteilung summieren musst. Wenn du Beispielsweise das Trägheitsmoment eines Körpers ausrechnen willst, musst du von einer kontinuierlichen Verteilung von Massepunkten ausgehen und da ist dann jeweils ein Volumenintegral gefragt. Das ist nur ein relativ \"anschauliches\" Beispiel. Es geht noch komplizierter..
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xenodez schrieb:
In der Schulphysik gibt es nicht viele Integrale zu berechnen, das stimmt schon. Aber in der Hochschulphysik sieht das schon anders aus. Überleg mal, dass du praktisch immer Integrale brauchst, wenn du irgendas mit kontinuierlicher Verteilung summieren musst. Wenn du Beispielsweise das Trägheitsmoment eines Körpers ausrechnen willst, musst du von einer kontinuierlichen Verteilung von Massepunkten ausgehen und da ist dann jeweils ein Volumenintegral gefragt. Das ist nur ein relativ \\\'anschauliches\\\' Beispiel. Es geht noch komplizierter..
hm. stimmt. darüber hab ich gar nicht nachgedacht. aber soweit bin ich auch noch nicht. in der schulphysik reicht das aber wirklich aus. und ja stimmt, man kann intergrale ja auch nutzen um sowas wie mittlewert zu berechnen. ich glaub in der stochastik finden integrale auch anwendung (obwohl das nicht so viel mit physik zu tun hat)
lg
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Och, in Fehlerrechnung und statistischer Thermodynamik hat man auch in der Physik genug mit Stochastik zu tun ;).
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xenodez schrieb:
Och, in Fehlerrechnung und statistischer Thermodynamik hat man auch in der Physik genug mit Stochastik zu tun ;).
oh nein! stochastik ist echt nicht mein thema
naja. ich komme letzlich dazu zu sagen, das integrale in der physik doch eine enorm große rolle spielen^^ -
Ich war mal eben ganz fix so frei und hab die Formeln für Flächen- und Volumenintegrale aufgeschrieben, weil ich das vor kurzem in Mathe hatte ;)
http://shakal.xardas.lima-city.de/integrale.pdf -
Die dort aufgeführte Formel für Volumenintegrale dient zur Berechnung von Rotationskörpern. Ich weise darauf hin, dass beliebige Volumina sich damit nicht berechnen lassen.
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jetz hätte ich aber auch mal ne frage:
xenodez schrieb:
Die dort aufgeführte Formel für Volumenintegrale dient zur Berechnung von Rotationskörpern. Ich weise darauf hin, dass beliebige Volumina sich damit nicht berechnen lassen.
was heißt denn beliebige volumina? ich dachte man kann immer das volumen von einem rotationskörper ausrechnen, der sich in ein koordinatensystem legen lässt? und ich wüsste auch keine formel die alle volumen berechnet?
lg -
Na, berechne z.B. mal das Volumen eines Quaders oder eines Prismas mit der Formel.. Okay, das sind jetzt banale Beispiele, weil man jene Volumina auch leicht so berechnen kann. Aber wenn du kompliziertere Körper hast, kannste nicht einfach immer mit der Formel für Rotationskörper rangehen. Dann musst du das Volumen irgendwie beschreiben, ein passendes Volumenelement definieren und über die entsprechenden Größen integrieren.
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ok. das hab ich verstanden. also is ja klar en quader ist halt kein rotationskörper, den man für ein volumenintegral benutzen könnte^^
danke -
Mit meinem frischen Analysis 3 wissen erzähl ich hier mal was zu den Volumenintegralen.
Allgemein berechnest du ein Volumenintegral mit kartesisschen Koordinaten indem du deine
Funktion f(x,y,z) erst über x, dann y dann z integrierst. Nach dem Satz von Fubini darfst
du das auch liebevoll vertauschen :)
Da ich weiß das du Physik studierst kann ich das folgende nun etwas lascher formulieren.
Jedoch solltets du wissen was eine Jacobi Matrix und die zugehörige Jacobi Determinate
ist. Das lernst du in Analysis 2 wenn die partiellen Ableitungen drankommen. Ich verrats
halt jetzt mal.
Wichtig ist noch der Begriff \"Bijektion\" (den brauch ich dir wohl nichtmehr zu erklären).
Eine Bijketion ist zum Beispiel die Identität (id). Im IR^3 hat die Identität als
Jacobimatrix gerade die 3x3 Einheitsmatrix, dessen Determinante folglich 1 ist. Warum die
Einheitsmatrix (Jacobimatrix der Identität)? Weil man die Jacobimatrix berechnet mit:
http://de.wikipedia.org/wiki/Jacobimatrix
Beispiel (mit d als partielle Ableitung und f als Identität (x,y,z) -> (x,y,z)):
- 11 Eintrag: df1/dx = 1
- 12 Eintrag: df1/dy = 0
- ...
Das Volumenintegral einer beliebigen Funktion berechnet sich mit der Transformationsformel
(kannst du so bei Wikipedia finden):
integral f(x,y,z) |det J| dx dy dz
Wobei J die Jacobimatrix der Bijektion ist. Diese Bijektion muss jedoch 2 triviale
Eigenschaften besitzen: sie muss stetig differenzeirbar sein und ihre Umkehrabbildung
ebenso. Man nennt diese Bijektion dann einen Diffeomorphismus (den bezeichne ich jetzt mal
mit phi). Also hast du eine Funktion f(x,y,z) kannst du das Volumenintegral ganz leicht
ausrechnen mit:
integral f(x,y,z) |det J(phi)| dx dy dz = integral f(x,y,z) * 1 * dx dy dz
Hast du nun jedoch Kugelkoordinaten, also f(x,y,z) = f(r, Theta, Phi) (man beachte phi
ungleich Phi
) so ist phi die Abbildung der kartesischen Koordinaten in
Kugelkoordinaten. Auszurechnen mit x = phi1 = r sin Theta cos Phi, y = phi2 = r sin Theta
sin Phi, z = phi3 = r cos Phi. phi ist natorlich Bijektiv mit r = wurzel(x^2 + y^2 + z^2),
Theta = ..., Phi = ... (man beachte Theta Element aus [0, pi] und Phi Element aus [0,
2pi]). Als Übung kannst du ja mal zeigen das das wirklich Bijektiv ist und einmal Ableiten
(das muss man nun eh gleich machen). Jetzt stellst du die Jacobimatrix auf wie bei
Wikipedia beschrieben. Danach erhälst du als Determinante |det J(phi)| = r^2 sin Theta.
Somit erhälst du als Volumenintegral in Kugelkoordinaten:
integral f(x,y,z) dx dy dz = integral f(r,Theta,Phi) r^2 sin Theta dr dTheta dPhi
Mit Zylinderkoordinaten funzt das genauso.
Ich hoffe das erläutert das ganze etwas. Wichtig sind die Begriffe: Jacobimatrix,
Determinante der Jacobimatrix, Diffeomorphimus, Transformationsformel. Wenn du die
Begriffe beherscht kann nichts mehr schiefgehen.
Flächenintegrale bin ich zu faul jetzt aufzuschreiben, die Thematik ist aber ziemlich ähnlich jedoch um eingiges komplizierter da du da mit Untermannigfaltigkeiten arbeiten musst und das solltest du dir richtig erklären lassen in der Vorlesung.
Vielleicht hilft es dir besser wenn du mal ein paar Beispielaufgaben hast die man hier durchgehen kann (würd ich dann auch mit LaTex tippen).
Gruß Tobi
PS: an alle die hier mit Google rumschreien: habt ihr shconmal Volumenintegrale
ausgerechnet? In der Schule macht man höchstens mal ein paar Rotationskörper und das wars.
Am Anfang konnte ich das auch nicht und war für jede Hilfe froh. Es geht hier ausdrücklich
NICHT um eindimensionale parameterabhängige Integrale sondern um mehrdimensionale Volumenintegrale! -
NUN ja ich habe mal gerade nicht mir g$$gle herum geschrien, aber ich tue es sonst gerne, ...
Ja das mag ja alles mathematisch korrekt sein. Im Grunde genommen denke ich reicht hier aber die holistische Ansicht .. das Bogenstück = theta * r und wenn man sich dann in einer kugel einen infinitissimalen kubus ansieht rallt man es auch und kann sich jacobi und co sparen und einfach schreiben r^2sintheta bzw. r dr dphi ..
Denke für die schule reicht es holistisch allemal und wenn man den Beweis einmal gerallt hat oder es sich hergeleitet hat, kann man es auch richtig anwenden ..
parametisieren wäre sonst auch noch ein Stichwort ;) -
Entschuldigung, aber das Stichwort lautet \"parametrisieren\".
-
Oh sorry, aber du hast RECHT
also parametrisieren googelen (nl.) ;) -
marathon schrieb:
Denke für die schule reicht es holistisch allemal
Er (fab) studiert halt Physik, daher ist das Schulwissen nicht wirklich ausreichend
Gruß Tobi
Beitrag geändert: 29.2.2008 22:05:28 von ttobsen -
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