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Fouriertransformation mit Skalierung

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  1. Autor dieses Themas

    f*b

    Hallo zusammen,
    Ich habe eine Frage für Mathematiker und theor. Physiker...
    Kurz gesagt transformieren wir die Zeit Formel: t mit Fouriertrafo auf die komplexe Formel: \tau-Variable. Dann betrachten wir eine Lokalisierungsfunktion Formel: \chi im Ort, mit Zeit-Skalierungsfaktor (=1 in einer Umgebung von Formel: x=x_0, =0 ausserhalb einer grösseren, dazwischen glatt) das heisst Formel: \chi(|\tau| x). Wie soll ich nun im Nicht-Fourier-Sinn folgendes interpretieren:
    Formel: \chi(|\tau| x) \hat{w}(x,\tau), wobei Formel: \hat{w}(x,\tau) die Fouriertransf. einer zeitabh. Funktion w ist?

    Genauer:

    Sei K ein Kegel mit Öffnungswinkel [latex]\alpha [/latex] und mit Ecke im Nullpunkt. Wir betrachten zeitabhängige Funktionen Formel: w(x,t), t \in \mathbb{R}, x \in K.
    Sei Formel: \gamma > 0 eine gegebene reelle Zahl und sei Formel: \tau = \sigma - i \gamma. Betrachte Formel: F, die Fouriertransformation, die die t-Variable nach Formel: \tau schickt, d.h. eigentlich nach einer für gewähltes Formel: \gamma fixen vertikalen Geraden in Formel: \mathbb{C}.
    Nun möchte ich wissen, wie ich
    Formel: F^{-1}[ \chi(|\tau| x )  F[w(x,t)](\tau) ]
    berechne, wobei Formel: \chi(y) eine Lokalisierungsfunktion, =1 in einer Umgebung des Nullpunkts und =0 ausserhalb, aber mindestens st. differenzierbar.

    Kann mir jemand helfen? Ich sollte es wissen, aber... ;-)

    Gruss
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  3. Es ist schwer dir zu helfen, wenn man nicht die genau Aufgabe kennt und nur ein paar Brocken hingeworfen bekommt.
  4. Autor dieses Themas

    f*b

    Das war die ganze Aufgabe, steht alles da...

    Mittlerweile konnte ich das Problem auf Folgendes reduzieren:

    Sei Formel: D ein beschränktes Gebiet mit Formel: 0 \in \partial D.
    Für Formel: p>0 sei Formel: \chi_{p} die charakteristische Funktion auf dem Intervall Formel: [0, 1/p]. Für Polarkoordinaten Formel: (r, \theta) und Formel: \beta \in (0,1), zeige dass eine positive Konstante Formel: C existiert, so dass für alle Formel: u \in L^2(D) mit Spur Formel: tr(u)=0 (Nullrandbedingungen) gilt:
    Formel: \int_D r^{2(\beta-1)} |u(x)|^2\,dx \leq C \int_D r^{2(\beta-1)} \chi_p(r)^2 |u(x)|^2\,dx.



    Ich habe erst das Elementare...
    Formel: \int_D r^{2(\beta-1)} \chi_p(r)^2 |u(x)|^2\,dx = \int_0^{2\pi} \int_0^R r^{2(\beta-1)} |u(r,\theta)|^2\,rdr\,d\theta,
    wobei Formel: R=\min(1/p, diam(D)).

    Jemand ne Idee?

    Gruss
    f
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