Ableitungen von sin und cos
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Ich hoffe ich schreibe im richtigen Thread^^
Meine Frage: ist die Ableitung von
f(x)=sinx cosx -sin
f\'(x)=cosx^2-sinx^2-cosx ?
Wenn ja, kann mir jemand erklären wie ich da die Nullstellen rausfinde? (auch falls die Ableitung anders ist bitte ich um eine genaue Beschreibung und die Nullstellen^^\")
Ich bin irgendwie zu blöd dazu -.-\'
also sinx^2+cosx = cosx^2
und dann? >_<
mfg darktiger (in der Hoffung jemand kann ihm helfen^^) -
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Ist im Prinzip richtig, ich frag mich nur, wie du auf die ^2 gekommen bist^^
Ich habs so gelernt:
Ableitung von sin(x)=cos(x)
und Ableitung von cos(x)=-sin(x)
Also würds ohne die ^2 passen
Zu der Sache mit den Nullstellen
Meinst du Nullstellen in der normalen Funktion oder in der Ableitung?
ps: hab grad wenig Zeit, ich meld mich später nochmal hier^^ -
sinx cosx
bedeutet dass das multipliziert wird^^ da gibts doch sone Regel. (u*v)\' = u\'v+v\'u...?^^
Beitrag geändert: 14.4.2008 15:41:31 von darktiger -
HI,
steig da nicht ganz durch, kannste f(x) nochmal mit klammern und \"Mal-Zeichen\" ausschreiben?
MfG
jai -
aalso f(x) = sin(x) * cos(x) -sin(x)
so müsste es korrekt sein :)
ich würde gerne wissen ob meine Ableitung richtig ist und welche Nullstellen die Ableitung hat. -
Hi
Der ultimative Tipp von mir:
sinx cosx = 1/2 sin(2x)
Das heißt:
f(x) = sinx cosx - sinx = 1/2 sin(2x) - sin(x)
=> f\'(x) = 1/2 2 (cos(2x)) - cos(x) = cos(2x) - cos(x)
Dafür gibts auch noch ein Additionstheorem, aber das macht die Sache nicht wirklich schöner.
Und damit ich mein tolles LaTex Proggi nutzen kann:
f\\left(x\\right) = \\sin x \\cos x - \\sin x = \\frac{1}{2} \\sin \\left(2x\\right) - \\cos x
f\'\\left(x\\right) = \\cos\\left(2x\\right) - \\cos(x\\right)
Gruß Tobi
kleiner Edit:
darktiger schrieb:
aalso f(x) = sin(x) * cos(x) -sin(x)
so müsste es korrekt sein :)
ich würde gerne wissen ob meine Ableitung richtig ist
Jep das stimmt :)
Denn:
cos 2x = cos^2 x - sin^2 x
darktiger schrieb:
und welche Nullstellen die Ableitung hat.
f(x) = 1/2 sin(2x) - sin(x) = 0
mit sin(n PI) = 0 für alle n aus Z (ganze Zahlen)
Die Nullstellen sind also bei ...
Gruß Tobi
noch ein kleiner Edit:
Nur rein zur Information - Pi ist soweit ich weiß sogar auf diese Weise definiert.
Gruß Tobi
Beitrag geändert: 14.4.2008 16:40:24 von ttobsen -
naja sinus -> nullstellen bei vielfachen von Pi. Soweit ich das jetzt richtig verstehe und weiß^^ So haben wir im Matheunterricht noch nie Ableitungen gemacht..
aber wie kann ich bitte aus meiner Ableitung mal eben die Nullstellen herleiten? >_< ich glaub echt ich brauch Mathenachhilfe.. -.-\'
//EDIT: danke für die vielen Anworten und Lösungen :)
Beitrag geändert: 14.4.2008 16:45:24 von darktiger -
darktiger schrieb:
aber wie kann ich bitte aus meiner Ableitung mal eben die Nullstellen herleiten?
Das geht nicht. Aus der Ableitung erhälst du über die Nullstellen keine Information. Wenn ich in ein xy Koordinatensystem eine Funktion einzeichne kann ich die Funktion irgendwie die X-Achse schneiden lassen (Nullstelle) und diese dabei so steil zeichnen wie ich möchte. Die Ableitung gibt dir die Information wie Steil eine Funktion an dem jeweiligen Punkt ist den du einsetzt!
Nullstellen berechnen sich immer auf die gleiche Weise:
f(x) = 0 setzen und dann herrausfinden für welche x Werte das alles zutrifft. Im obigen Beispiel wäre das:
f(x) = sin(2x) - sin(x) = 0
umstellen:
sin(2x) = sin(x)
Und wann ist diese obige Gleichung erfüllt? Immer dann wenn beide Seiten gleichzeitig 0 sind (sie können auch gleichzeitig 1 oder -0,3333333 sein, aber dieser Fall trifft nicht zu, einfach mal beide Funktionen in ein Diagramm zeichnen). die linke Seite ist immer genau dann 0 wenn 2x ein vielfaches von Pi ist. Also muss gelten:
2x = n Pi umstellen nach n gibt: n = 2x/ PI
Das ist sogar super toll, weil nun nicht nur alle ganzen Zahle sin(2x) zu 0 weren lassen, sondern auch alle 0,5er Zahlem wie 1,5 7,5 10002,5, usw.
Die rechte Seite muss auch 0 sein, für sin(x) ist immer bei x = nPi eine Nullstelle. Also scheiden leider die ganzen 0,5er Zahlen raus, und man hat immer Nullstellen bei x = n PI, wobei n eine ganze Zahl sein muss.
Mein Tipp: einfach mal die Funktionen zeichnen. Ein Bild sagt mehr als 1000 Worte.
Gruß Tobi -
ui da kennt sich ja wer aus.. oO
okay ich habe mich missverständlich ausgedrückt^^ ich will nicht aus der Ableitung die Nullstellen ableiten sondern die Nullstellen von der Ableitung rausfinden so wie ich sie gemacht habe.
Das erwies sich heute für mich in der Matheschulaufgabe als unmöglich -.- und jetzt eigentlich immer noch.. wir haben nur so gelernt Ableitungen zu machen wie ich sie gemacht habe.. :S
Nullstellen von der ersten Ableitung brauch ich für Extrema und dann hätte ich noch die zweite Ableitung machen sollen um Wendepunkte rauszufinden... :S -
darktiger schrieb:
ich will nicht aus der Ableitung die Nullstellen ableiten sondern die Nullstellen von der Ableitung rausfinden so wie ich sie gemacht habe.
Aso, sry.
Deine Lösung:
f\'(x)=cosx^2-sinx^2-cosx = 0
Dazu musst du dann wirklich trickreicher sein.Hast du nenn grafikfähigen Taschenrechner? Dann kannst du je nach Aufgabenstellung (wenn es heißt \"bestimmen sie\", darfst du IMMER den Rechner benutzen!) die Nullstellen ausgeben lassen.
Ansonsten sehe ich da kaum eine Chance (zumindest keine auf Schulniveau, Fourier Transformation könnte helfen, aber das approximiert ganze).
darktiger schrieb:
wir haben nur so gelernt Ableitungen zu machen wie ich sie gemacht habe.. :S
Ja und was hab ich anderst gemacht? Ich habe einfach nur eine allgemeine Beziehung genutzt die besagt das sin(x) cos(x) = sin(2x) ist. Diese Gleichung gilt immer, egal für welches x. Die kann man sich sogar merken wenn man möchte.
Wenn die Aufgaben so schwer sind steckt meistens ein Trick wie meiner dahinter (obwohl der leider auch nicht zum Ziel führt) oder man muss die Lösung nur mit dem Taschenrechner bestimmen (was ich hier vermute).
Gruß Tobi -
Ist es denn f\'(x) = cos² (x) - ... oder f\'(x) = cos (x²)
Denn -sin² (x) + cos² (x) = 1 | (cos - sin = -sin + cos) -
Also ich hab das ganze mal in Derive 6 eingegeben:
f(x)=sin(x)*cos(x)-sin(x)
f\'(x)=2·COS(x)^2 - COS(x)-1 -
zwiebeldoener schrieb:
Denn -sin² (x) + cos² (x) = 1
Nein, nur sin² (x) + cos² (x) = 1. Das andere ist leider kein Spezialfall! (bei sinh und cosh wäre es einer).
Gruß Tobi -
so nen Taschenrechner hat uns der Lehrer verboten...
tja dann werd ich mal auf die Lösung in der Schule warten...
mfg darktiger -
Ok. Wär cool wenn du die Lösung dann irgendwann noch hier reinschreibst. Interessiert mich selber mal was da rauskommt.
(da hat man 3 Semester Mathe studiert und griegt nichtmal ne Abiaufgabe hin
).
Gruß Tobi
Beitrag geändert: 14.4.2008 23:38:26 von ttobsen -
zwiebeldoener schrieb:
Denn -sin² (x) + cos² (x) = 1
Nein, nur sin² (x) + cos² (x) = 1. Das andere ist leider kein Spezialfall! (bei sinh und cosh wäre es einer).
Gruß Tobi
Aber sin² und -sin² haben das selbe Ergebnis... also (sin(x))² und (-sin(x))² und damit gilt das auch für -sin. Hatten wir heute gerade wieder in der Vorlesung. -
Ich frag mich wer das aus meiner Klasse überhaupt hinbekommen hat. Sogar dem Mathegenie gings besch...eiden^^
Vielleicht hätten wir das ja wissen müssen wie man das umformt ô.Ô
Haben wir glaub ich nie gemacht... wir hatten auch als Aufgabe 1/sin(x)+1/cos(x) aber da meinte der Lehrer, die sei viel zu schwer und sowas komme bestimmt nicht in der Schulaufgabe dran... Ist halt nen ziemliches Gefummel mit der 2.Ableitung^^ Und da haben wir glaub ich so am Ende der Stunde noch schnell ne Lösung hingefummelt, die VIELLEICHT auf irgendeiner Umformung basierte.Das hab ich aber leider nich so genau mitgeschrieben :S
Ich dachte immer ich könnte Mathe und hab schon LK Mathe eintragen lassen -.- Ich bin gerade in der 11ten Klasse. Glaubt ihr, ich schaff das?^^\"
Ach ja ich hab noch ne Frage^^: Wenn man eine Funktion hat mit Termen (nennt man hoffentlich so^^) in denen ausschließlich sin und cos vorkommen,
also z.b. 1/sin(x)+1/cos(x) oder sinx(x)*cos(x) oder sin(x)+cos(x) aber nicht sin(x)+cos(x)+x ,
sind da die Nullstellen von der normalen Funktion immer auch die Wendepunkte?
Mein Lehrer meinte, er will sich da jetzt keine Gedanken drüber machen ô.Ô und selbst wenn das stimmt darf ich das nicht als Begründung für die Wendepunkte hernehmen, \"weil das keine allgemeine Begründung ist\" -.- Man darf doch eine Aufgabe lösen wie man will, wenn einfach nur in der Aufgabenstellung steht man soll die Wendepunkte herausfinden..?
Naja vielleicht stimmt meine Theorie ja auch gar nicht^^
Gruß, darktiger
P.S.: Ich hoffe, ich hab jetzt nichts unlogisches geschrieben^^ bin todmüde und sitz immer noch vor Mathe :S -
Ach ja ich hab noch ne Frage^^: Wenn man eine Funktion hat mit Termen (nennt man hoffentlich so^^) in denen ausschließlich sin und cos vorkommen,
also z.b. 1/sin(x)+1/cos(x) oder sinx(x)*cos(x) oder sin(x)+cos(x) aber nicht sin(x)+cos(x)+x ,
sind da die Nullstellen von der normalen Funktion immer auch die Wendepunkte?
Mein Lehrer meinte, er will sich da jetzt keine Gedanken drüber machen ô.Ô und selbst wenn das stimmt darf ich das nicht als Begründung für die Wendepunkte hernehmen, \"weil das keine allgemeine Begründung ist\" -.- Man darf doch eine Aufgabe lösen wie man will, wenn einfach nur in der Aufgabenstellung steht man soll die Wendepunkte herausfinden..?
Naja vielleicht stimmt meine Theorie ja auch gar nicht^^
Gruß, darktiger
P.S.: Ich hoffe, ich hab jetzt nichts unlogisches geschrieben^^ bin todmüde und sitz immer noch vor Mathe :S
Also Gedanken will ich mir jetzt auch nicht mehr dazu machen, aber wenn du es in der Klausur benutzen willst ohne dass es im Unterricht so gesagt wurde müsstest du eigentlichen in der Klausur erst einen allgemeinen Beweis schreiben. Und das dürfte länger dauern als das normale Rechnen ;) -
zwiebeldoener schrieb:
Aber sin² und -sin² haben das selbe Ergebnis... also (sin(x))² und (-sin(x))² und damit gilt das auch für -sin. Hatten wir heute gerade wieder in der Vorlesung.
Ja das ist der Springende Punkt. Während (-sin(x))² stets größer gleich 0 ist, ist -(sin(x))² stehts kleiner gleich 0. Also kann das schonmal daher nicht passen.
Und weils so toll ist folgt der mathematische Beweis :)
-(sin x)^2 + cos(x)^2 = -(1/(2i))^2 (e^(2ix) + e^(-2ix)-2) +(1/(2))^2 (e^(2ix) + e^(-2ix)+2) = 1/4(e^(2ix) + e^(-2ix)-2 + e^(2ix) + e^(-2ix)+2) = 1/4 (2e^(2ix) + 2e^(-2ix)) = 1/2 (e^(2ix) + e^(-2ix)) = cos (2x)
Und das habe ich glaube ich von Anfang an behauptet :)
Kleiner Tipp: Bei Sinus, Cosinus immer mit e^(ix) arbeiten. Cosinus ist der Realteil davon, Sinus der Imaginärteil.
Gruß Tobi
Edit:
Jetzt hab ich fast das wesentliche vergessen.
darktiger schrieb:
Wenn man eine Funktion hat mit Termen (nennt man hoffentlich so^^) in denen ausschließlich sin und cos vorkommen,
also z.b. 1/sin(x)+1/cos(x) oder sinx(x)*cos(x) oder sin(x)+cos(x) aber nicht sin(x)+cos(x)+x ,
sind da die Nullstellen von der normalen Funktion immer auch die Wendepunkte?
Als erstes: ja die nennt man Terme ;)
Aber ganz wichtig: Nein, die Nullstellen sind im Allgemeinen nicht die Wendepunkte. Sie können es aber sein. Das muss man aber von Fall zu Fall beweisen.
Am einfachsten zeigt man das diese Aussage nicht gilt indem man ein Gegenbeispiel konstruiert.
f(x) = sin²(x) * cos(x)²
Weiteres Gegenbeispiel: f(x) = sin(x) / cos(x) = tan(x), da gilt das genauso wenig.
Aber allgemein gilt (wie du das schon richtig gut erkannt hast):
f(x) = a sin(x) + b cos(x) (a und b dürfen irgendwelche Zahlen sein), dann gilt: f\'\'(x) = -f(x). Und da du Nullstellen und Wendepunkt suchst passt das (schon allein aus Symmetrie Überlegung). In der Physik ist das ganz interessant weil genau diese Gleichung eine Schwingung darstellt. Und dort muss auch gelten das die Beschleunigung ab dem Gleichgewichtspunkt anfängt ihre Richtung umzukehren (sonst würde es einem das Pendel um die Ohren hauen).
Gilt deine Vermutung auch für f(x) = sin(x) * cos(x)? Mal Nachrechnen: f\'\'(x) = -2 sin(2x). f\'\' ist also genau dann 0 wenn x ein n-faches von Pi/2 ist. Und wann wird f(x) = 0? Entweder wenn x ein n-faches vin Pi ist (wegen dem Sinusterm) oder wenn x ein n-faches von Pi/2 ist (wegen dem Kosinusterm). Also sind alle Fälle abgedeckt und deine Aussage ist auch hier korrekt!
Dort ist jede Nullstelle ein Tiefpunkt. Warum? Ganz einfach nur stupides Nachrechnen (vielleicht als Übung mache, mit einer kleinen Idee ist das ganz schnell gezeigt).
Wenn man das jedoch ganz allgemein Beweisen möchte müss man etwas Algebra betreiben weil + und * Verknüpfungen sind und dann irgend eine Struktur aufbauen (dazu bin ich jedoch viel zu doof, daher möcht ich das nicht weiter ausführen).
Fazit: Deine Behauptung geht für Spezialfälle in Ordnung, gilt Allgemein jedoch nicht.
Gruß Tobi
Beitrag geändert: 15.4.2008 0:56:40 von ttobsen -
ah okay danke :) ^^
Respekt vor so viel Mathematikwissen ._.
Ja in Physik machen wir auch gerade solche Schwingungen, da haben wir nur in der letzten Zeit dauernd Mathe gemacht wegen der Schulaufgabe. Gleicher Lehrer...
Leider ist unser Lehrer nicht so kompetent wie du ttobsen und er hat auch irgendwie keine Lust groß was zu erklären -.- Deswegen auch meine Frage mit den Wendepunkten :)
gibst du eigentlich auch live-mathe-support bei ICQ? :> Ich hab auch einen gefragt der Physik studiert (Mathe LK) und der hat sich nur die Funktionen gezeichnet (also f(x) = sin(x) * cos(x) -sin(x) und die Ableitung)
und daraus abgelesen und konnte mir halt nur die Werte sagen aber nicht wie ich die herleiten kann.
Gut dass ich hier nochmal angefragt habe :)
Kennt ihr vllt eine gute Seite wo man Matheaufgaben mit Lösung+Rechenweg/Denkweise bekommen kann? im Lösungsbuch zu unserem Schulbuch stehen glaub ich nur die Lösungen -.-
Gruß, darktiger -
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