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  1. Autor dieses Themas

    gnosis

    gnosis hat kostenlosen Webspace.

    Hallo liebe Menschen,

    kann mir jemand von euch sagen, warum das gilt:

    Eine Primzahl (größer oder gleich 5) ist immer ein Vielfaches von 6 plus oder minus 1.

    und das:

    Jede ungerade Zahl außer der Eins ergibt mit sich selbst multipliziert ein Vielfaches von 8 plus 1

    vielen Dank.
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  3. das ist ja witzig.. ich kann dir das zwar nicht erklären, aber ich freu mich über mein dazugewonnenes wissen :)
  4. x*****k

    Hallo!

    Zum ersten:

    Aus Wikipedia:
    Jede Primzahl mit Ausnahme der 2 lässt sich einer der beiden Klassen „Primzahl der Form 4k + 1“ oder „Primzahl der Form 4k + 3“ zuordnen, wobei k eine natürliche Zahl ist. Darüber hinaus hat jede Primzahl p > 3 die Form p = 6k + 1 oder p = 6k − 1, wobei k eine natürliche Zahl ist. Nach dem dirichletschen Primzahlsatz gibt es in jeder dieser vier Klassen unendlich viele Primzahlen.


    Es gilt also
    p ≥ 5
    p ∈ V6±1
    Klar soweit?

    Zum zweiten:

    Hier schreib ich das mal so.
    x ∈ |Nu
    xHOCH2 ∈ V8+1

    Ich kann dir nicht sagen, warum diese Regeln gelten. Das waren hochintelligente Mathematiker, die dir das erklären hätten können. Solches Zeug solltest du dir einfach einprägen. Und anhand von ein paar Beispielen wirst du's auch bald verstehen.

    mfg x-bLack :cool:


    Beitrag geändert: 23.10.2007 15:24:26 von x-black
  5. Autor dieses Themas

    gnosis

    gnosis hat kostenlosen Webspace.

    schade, dass das so schwer zu erklären ist.

    Nach dem dirichletschen Primzahlsatz gibt es in jeder dieser vier Klassen unendlich viele Primzahlen.
    :confused:

    ich raff gar nix mehr vll kommt ja doch jemand drauf ich muss das wissen, weil ich das für mein Projekt brauch.

    Zur Hilfe schreib ich mal alle Primzahlen von 1 bis 30 auf (die mit * sind die Primzahlen=:

    1
    2 *
    3 *
    4
    5 *
    6
    7 *
    8
    9
    10
    11 *
    12
    13 *
    14
    15
    16
    17 *
    18
    19 *
    20
    21
    22
    23 *
    24
    25
    26
    27
    28
    29 *
    30
    31 *
  6. x*****k

    ähh.. Sry das in Wikipedia ist etwas umständlich geschrieben.
    Lange Rede - Kurzer Sinn: Primzahlen können nur durch 1 und sich selbst restlos geteilt werden...
    und... die andere Regel hast du ja selbst aufgeschrieben.

    Am besten ist es, wie ich schon erwähnte, wenn du selbst ein paar Beispiele zu diesen Regeln machst...
    Die Regeln musst du einfach auswändig lernen.

    Ich weiss nicht, was du nicht checkst.
    Jede Primzahl ausser 2 und 3 ist ein Vielfaches von 6+-1... Hast du ja selbst gesagt.
    Das ist so, daran kannst du nichts ändern. Das ist Mathe.. Ich kann sie dir nicht erklären.

    mfg x-bLack :cool:
  7. c*a

    Eine Primzahl (größer oder gleich 5) ist immer ein Vielfaches von 6 plus oder minus 1.
    Stichwort: Sieb des Eratosthenes. Man sieht anschaulich sofort, warum das gelten muss.

    Aber machen wir einen Beweis:

    Behauptung: Jeder Primzahl p ≥ 5 soll ein Vielfaches von 6 plus oder minus 1 sein.

    p Primzahl => p = 6 n + 1 oder p = 6 n - 1 mit n aus den natürlichen Zahlen.

    Annahme: Zahlen die nicht in dieses Muster passen, sind keine Primzahlen.

    p = 6 n + r mit r ∈ IN

    Werte für r, größer als 5 oder kleiner als 0, müssen wir nicht betrachten, da wir in diesen Fällen einfach das n so verändern können, dass r ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5} gilt. Also z. B. p = 6·n + 9 = 6·(n+1) + 3 oder für r = 6·n - 1 = 6·(n-1) + 5. Damit bleibt p ja Vielfaches von 6 plus irgendetwas.

    Also müssen wir zeigen, dass für r aus M = {0; 2; 3; 4} gilt: p ist keine Primzahl.

    p = 6 n + 0 => p durch 6 teilbar => keine Primzahl
    p = 6 n + 2 = 2 (3 n + 1) => p durch 2 teilbar => keine Primzahl
    p = 6 n + 3 = 3 (2 n + 1) => p durch 3 teilbar => keine Primzahl
    p = 6 n + 4 = 2 (3 n + 2) => p durch 2 teilbar => keine Primzahl

    Jede ungerade Zahl außer der Eins ergibt mit sich selbst multipliziert ein Vielfaches von 8 plus 1

    Für jede ungerade Zahl z kann man ein n ∈ IN finden, so dass gilt:

    z = n·2 + 1

    z mit sich selbst multipliziert ergibt:
    z·z = (n·2 + 1)·(n·2 + 1) = 4 n² + 4 n + 1 = 4 n (n + 1) + 1

    4 n (n + 1) ist durch 4 teilbar, das reicht aber noch nicht.

    Was gilt für n (n + 1) ?

    n (n + 1) ist durch 2 teilbar, da entweder n oder n + 1 gerade.

    Also ist 4 n (n + 1) durch 8 teilbar.

    => z·z = 4 n (n + 1) + 1 ist ein Vielfaches von 8 plus 1.

  8. schade, dass das so schwer zu erklären ist.

    Nach dem dirichletschen Primzahlsatz gibt es in jeder dieser vier Klassen unendlich viele Primzahlen.
    :confused:

    ich raff gar nix mehr vll kommt ja doch jemand drauf ich muss das wissen, weil ich das für mein Projekt brauch.


    Hi

    Wie exakt brauchst du es für dein Projekt. Eigentlich müsste man das mathematisch exakt beweisen, mithilfe von Polynomringen. Aber das probier ich nur wenn du es auch so exakt brauchst (ich als Anti Algebraiker tu mich da etwas schwer, das Thema ist aber recht interessant, einfach mal noch Polynomringen bei Wikipedia schauen).

    Gruß Tobi
  9. Autor dieses Themas

    gnosis

    gnosis hat kostenlosen Webspace.



    schade, dass das so schwer zu erklären ist.

    Nach dem dirichletschen Primzahlsatz gibt es in jeder dieser vier Klassen unendlich viele Primzahlen.
    :confused:

    ich raff gar nix mehr vll kommt ja doch jemand drauf ich muss das wissen, weil ich das für mein Projekt brauch.


    Hi

    Wie exakt brauchst du es für dein Projekt.
    Das ist für eine GFS, die ich machen muss. Ich bin in der elften Klasse also nicht so exakt würde ich sagen :cool:

    Eigentlich müsste man das mathematisch exakt beweisen, mithilfe von Polynomringen. Aber das probier ich nur wenn du es auch so exakt brauchst (ich als Anti Algebraiker tu mich da etwas schwer, das Thema ist aber recht interessant, einfach mal noch Polynomringen bei Wikipedia schauen).

    Gruß Tobi
    Das Wort Polynomring hör ich jetzt zum ersten Mal und den Wikipediaartikel verstehe ich überhaupt nicht.

    Wenn du irgendeine Idee hast bitte sag sie mir. Ist nicht so wichtig wenn es nicht exakt ist.
  10. c*a

    Vll mal ein Hinweis, warum meine Beweise falsch sind?

    Ich habe bewiesen, dass p = 6 n +/- 1 eine notwendige Bedingung dafür ist, dass p eine Primzahl ist.

    Damit habe ich folgendes natürlich nicht bewiesen:

    für alle n aus IN gilt:
    6 n + 1 oder 6 n - 1 ist eine Primzahl.

    Das war 1. nach Aufgabenstellung auch nicht verlangt und 2. stimmt es auch nicht.

    119 und 121 sind die ersten Zahlen, die das nicht erfüllen.

    119 = 6 * 20 - 1
    121 = 6 * 20 + 1

    aber 119 = 17 * 7 und 121 = 11 * 11 und damit keine Primzahlen... schade, die Fields-Medaille schien schon so nah...
  11. Haaalt..
    Es wird ja nicht gesagt, dass jedes Vielfache von 6 +/- 1 auch automatisch eine Primzahl ist!
    Es gilt nur andersrum!
  12. c*a

    martix schrieb:
    Haaalt..
    Es wird ja nicht gesagt, dass jedes Vielfache von 6 +/- 1 auch automatisch eine Primzahl ist!
    Es gilt nur andersrum!
    Nichts anderes habe ich gesagt.

  13. Das Wort Polynomring hör ich jetzt zum ersten Mal und den Wikipediaartikel verstehe ich überhaupt nicht.

    Wenn du irgendeine Idee hast bitte sag sie mir. Ist nicht so wichtig wenn es nicht exakt ist.


    Zu den Polynomringen hilft vielleicht das: http://home.mathematik.uni-freiburg.de/hannes/WS06/LA1/Skript/Hauptdatei_LA_13.pdf

    Aber wahrscheinlich verwirrt es dich nur mehr als das es hilft. Ich schaumal ob ich heut Abend den Beweis hinbekomme für Polynomringe allgemein und das versuch ich dann als Spezialfall des Polynomringes mit n=0 zu verkürzen.

    Aber eigentlich ist ein Polynomring nichts anderes als zum Beispiel:

    1 + 2x + 3x² + 0x³ - 7x^4 = P(x)

    Einen Ring nennt man es deshalb weil man zu P(x) die 1 Multiplizieren kann und es bleibt weiterhin P(x), weil man die 0 addieren kann ohne das was passiert und weil das Distributivgesetz gilt (P1 + P2)P3 = P1P3 + P1P3.

    Prim bedeutet nun in diesem Sinne auch nicht: eine Zahl die nur durch 1 oder sich selbst teilbar ist, sondern etwas weitaus komplizierteres (das anzugeben lohnt sich an dieser Stelle auch garnicht, stimmt jedoch für den Spezialfall das der grad von P = 0 ist).

    So jetzt ist halt das Problem ob es einen elementaren Beweis für diese Aussage gibt das jede Primzahl ein Vielfaches von 6 + oder - 1 ist. Und da denke ich mal das man eben nur mit dieser algebrarisch korrekten Version einen vernünftigen Beweis findet.

    Sonst fällt mir spontan auch nichts ein, wie man das zeigen könnte. Algebrarische Probleme, verlangen leider meist nach algebrarischen Lösungen ;)

    Gruß Tobi
  14. r*********k

    hm keine ahnung ich frag morgen ma meinen mathelehrer :biggrin:
  15. Autor dieses Themas

    gnosis

    gnosis hat kostenlosen Webspace.

    ttobsen, ich weiß nicht was die Polynome mit den Zahlen zu tun haben. Tut mir leid :confused: ich möchte dich auch nicht nerven.

    Könnte man nicht so sagen:
    g gerade Zahlen
    d Vielfache von 3
    * Primzahlen

    1
    2 g *
    3 d *
    4 g
    5 *
    6 g d
    7 *
    8 g
    9 d
    10 g
    11 *
    12 g d
    13 *
    14 g
    15 d
    16 g
    17 *
    18 g d
    19 *
    20 g
    21 d
    22 g
    23 *
    24 g d
    25
    26 g
    27 d
    28 g
    29 *
    30 g d
    31 *

    usw

    dass bei den Vielfachen von 6 es immer so ist:
    addiert man 1 ist die Zahl nicht durch 2 oder 3 teilbar, da 1 als Rest übrigbleibt.
    subtrahiert man 1 ist die Zahl nicht durch 2 oder 3 teilbar da der Rest 5. Und die 5 ist nicht durch 2 oder 3 teilbar.

    Und das ganze funktioniert weil bei den Vielfachen von 6 immer die Vielfachen von 2 und die Vielfachen von 3 zusammentreffen.

    und was ist mit der zweiten Aufgabe? Ist die Lösung von cga so richtig?

    ramnaisback schrieb:
    hm keine ahnung ich frag morgen ma meinen mathelehrer :biggrin:
    Danke. Das ist echt nett von dir.

  16. Eine Primzahl (größer oder gleich 5) ist immer ein Vielfaches von 6 plus oder minus 1.
    Stichwort: Sieb des Eratosthenes. Man sieht anschaulich sofort, warum das gelten muss.

    Aber machen wir einen Beweis:

    Behauptung: Jeder Primzahl p ≥ 5 soll ein Vielfaches von 6 plus oder minus 1 sein.

    p Primzahl => p = 6 n + 1 oder p = 6 n - 1 mit n aus den natürlichen Zahlen.

    Annahme: Zahlen die nicht in dieses Muster passen, sind keine Primzahlen.

    p = 6 n + r mit r ∈ IN

    Werte für r, größer als 5 oder kleiner als 0, müssen wir nicht betrachten, da wir in diesen Fällen einfach das n so verändern können, dass r ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5} gilt. Also z. B. p = 6·n + 9 = 6·(n+1) + 3 oder für r = 6·n - 1 = 6·(n-1) + 5. Damit bleibt p ja Vielfaches von 6 plus irgendetwas.

    Also müssen wir zeigen, dass für r aus M = {0; 2; 3; 4} gilt: p ist keine Primzahl.

    p = 6 n + 0 => p durch 6 teilbar => keine Primzahl
    p = 6 n + 2 = 2 (3 n + 1) => p durch 2 teilbar => keine Primzahl
    p = 6 n + 3 = 3 (2 n + 1) => p durch 3 teilbar => keine Primzahl
    p = 6 n + 4 = 2 (3 n + 2) => p durch 2 teilbar => keine Primzahl

    Jede ungerade Zahl außer der Eins ergibt mit sich selbst multipliziert ein Vielfaches von 8 plus 1

    Für jede ungerade Zahl z kann man ein n ∈ IN finden, so dass gilt:

    z = n·2 + 1

    z mit sich selbst multipliziert ergibt:
    z·z = (n·2 + 1)·(n·2 + 1) = 4 n² + 4 n + 1 = 4 n (n + 1) + 1

    4 n (n + 1) ist durch 4 teilbar, das reicht aber noch nicht.

    Was gilt für n (n + 1) ?

    n (n + 1) ist durch 2 teilbar, da entweder n oder n + 1 gerade.

    Also ist 4 n (n + 1) durch 8 teilbar.

    => z·z = 4 n (n + 1) + 1 ist ein Vielfaches von 8 plus 1.


    HALLO? Der Beweis wurde doch schon gepostet was ist falsch an dem?????
    Nix da mit polynomringen!!! Oder versteh ich was falsch???
  17. Hallo cga ;),


    Vll mal ein Hinweis, warum meine Beweise falsch sind?


    auch ich bin der Meinung, dass deine Beweise korrekt sind. Es ist schade, wenn man sich die Mühe macht etwas zu durchdenken, es dann hier möglichst übersichtlich postet aber es halt nicht ankommt. Möglicherweise ist so manch einem nicht ganz klar wie logische Beweise geführt werden.

    Gruß
    Manni

  18. Nix da mit polynomringen!!! Oder versteh ich was falsch???


    Naja ich hab nur gelesen das cga's Beweis nicht vollständig/korrekt sein soll und hab daher die Vermutung aufgestellt das man das ganze vielleicht nur mit Hilfe von Polynomringen beweisen kann, was natürlich nicht so heißt das das so ist!

    gnosis schrieb:
    ttobsen, ich weiß nicht was die Polynome mit den Zahlen zu tun haben. Tut mir leid :confused: ich möchte dich auch nicht nerven.


    Ich brech das Thema mit den Polynomen mal ab. Das führt wahrscheinlich zu mehr Verwirrung wie zur Lösung. Beispiel nur: P(x) = x²+2x-1 ist prim, da du kein Polynom findest das du restlos via Polynomdivision teilen kannst. P(x) ist nur teilbar durch 1 oder durch P(x). Aber nun Schluss damit!

    Gruß Tobi
  19. c*a

    Es hat definitiv niemand gesagt, dass mein Beweis nicht korrekt war, er wurde schlichtweg ignoriert, aber gut. Ich will mich nicht darüber aufregen, da ich selbst in der Vergangenheit selbst nicht ganz unschuldig war, was das angeht (nicht wahr bandi? ;) )
    Noch ein Wort zu der ersten Aufgabe: der Beweisidee sehr einfach, das einzige Problem ist die formale Korrektheit. Die Aufgabe kann man vll so ab der 6. Klasse beweisen. Polynomringe wie Z[X] sind dagegen (wie wir gesehen haben) Unistoff. Außerdem ist Z[X] kein schöner Ring, man müsste erst mal beweisen, dass irreduzibel (kann nicht weiter in Teiler zerlegt werden) das selbe ist wie prim (p prim wenn gilt: p teilt a*b => p=a oder p=b) :eek:
  20. Diskutiere mit und stelle Fragen: Jetzt kostenlos anmelden!

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