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Wurzel aus 0

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  1. merovius schrieb:
    Interessant ist, dass beide Bücher explizit von der Wurzel aus 0 Abstand nehmen, aber ich vermute, das liegt am Kontext. In der Königsberger Analysis werden Wurzeln im Zusammenhang mit der Vollständigkeit von R behandelt und der Satz wird bewiesen mit einem besonderen Verfahren, was auf die 0 nicht anwendbar ist. Im Ingenieurs-Buch wird es im Zusammenhang mit der Konvergenz von Folgen behandelt. Habs mir nicht genauer angeschaut, aber kann mir vorstellen dass der Beweis auch für 0 nicht funktioniert.


    Ich habe gerade das Analysis 1 Skript rausgeholt (ist ziemlich nahe am Königsberger gehalten).

    Der Beweis dieses Satzes funktioniert ja mit Intervallschachtelung. Ich sehe aber nicht wieso da a = 0 ein Problem macht (im Folgenden bezieh ich mich auf x^2 = a).

    Man nimmt ein Intervall I_k = [a_k,b_k] herraus und halbiert dieses. Dann wählt man die Hälfte aus in der a liegt. Dieses Intervall wieder halbieren, Intervall mit a Auswählen, usw.

    Das folgende Intervall wählt man also mit (m_k ist der Mittelpunkt also (a_k+b_k)/2):

    I_(k+1) = [a_k, m_k] falls m_k^2 >=a bzw. [m_k, b_k] falls m_k^2 < a. Mit a = 0 kann der zweite Fall also nie Eintreten, somit erhält man für die Folgeintervalle I_(k+1) = [0, m_k].

    Man halbiert also die Intervalle und wählt immer das Linke aus (links im Sinne von \"ich mal mir mal die reelle Zahlenachse auf\"). Dann geht |I_k| mit k->unendlich auf alle Fälle gegen 0 und somit gegen den Punkt 0 (man muss ja immer das Linke Intervall nehmen).

    Ich sehe also irgendwie nicht das man für a>0 nehmen muss und nicht a>=0. Kann da irgendwas \"böses\" passieren?

    Gruß Tobi

    Edit: ich weiß nicht ob der Beweis im Königsberger auch so gehandhabt wird mit Intervallschachtelung, kanns mir aber gut vorstellen.

    Beitrag geändert: 15.7.2008 22:59:33 von ttobsen
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  3. m******s

    Nun, zumindest in meiner Ausgabe der Königsberger Analysis wird sich auf den Fall x >= 1 beschränkt, mit der Anmerkung, dass der Fall x < 1 durch den Übergang x -> 1/x behandelt werden kann. Den genauen Beweis habe ich gerade keine Lust mir anzuschauen, aber offenbar hat es Sinn, x >= 1 anzunehmen für den Beweis und der Übergang x -> 1/x ist schon sehr böse für x = 0 ;)
    Vielleicht habe ich irgendwann Lust, mich näher damit auseinanderzusetzen....

    [edit] Okay, doch mal durchgelesen und auf den erten Blick sollte der Beweis tatsächlich auch mit x=0 hinhauen. Aus irgendeinem Grund machen sie eine Intervallschachtelung und beginnen beim Intervall [1,x], ich wüsste aber nicht, wieso das mit dem Intervall [0,x] nicht klappen sollte... Aber zumindest der Beweis, den sie machen, der klappt nicht für x=0 ;)

    [edit2] Jetzt auch den von dir geschilderten Beweis durchgelesen und der ist im Wesentlichen identisch zum Königsberger Beweis. Nur ist die Frage, mit welchem Intervall bei euch angefangen wurde?

    Beitrag geändert: 15.7.2008 23:11:19 von merovius
  4. merovius schrieb:
    Jetzt auch den von dir geschilderten Beweis durchgelesen und der ist im Wesentlichen identisch zum Königsberger Beweis. Nur ist die Frage, mit welchem Intervall bei euch angefangen wurde?


    Ich hab ein paar Kleinigkeiten weggelassen weils hier leider kein LaTex gibt :wink:

    Angefangen wurde mit einem beliebigen Intervall [a_1, b_1] so das gilt a_1^2 <= x^2 =a <= b_1^2.

    Die Ungleichung aus y>x folgt y^n > x^n wurde vorrausgesetzt (hatten wir damals eine Woche zuvor oder so bewiesen).

    Also das Startintervall ist beliebig. Es muß nur gelten: a liegt in I oder auf den Randpunkten von I.

    Warum der Königsberger jetzt das ganze für [1,*] macht ist mir sehr schleierhaft da obige Ungleichung für alle x,y > 0 gilt.

    Gruß Tobi


    Beitrag geändert: 15.7.2008 23:39:31 von ttobsen
  5. m******s

    Warum der Königsberger jetzt das ganze für [1,*] macht ist mir sehr schleierhaft da obige Ungleichung für alle x,y > 0 gilt.


    Mir auch. Der gesamte Beweis funktioniert auch wunderbar ohne die Bedingungen... hab keine Ahnung, wieso die das so machen.
  6. l******1

    Warum der Königsberger jetzt das ganze für [1,*] macht ist mir sehr schleierhaft da obige Ungleichung für alle x,y > 0 gilt.
    Ich denke, das macht er nur, damit er den Beweis etwas einfacher aufschreiben kann, z. B. könnte er sonst als erstes Intervall nicht [1, a] wählen (da die Wurzel aus a nicht in diesem Intervall liegt, wenn a kleiner als Eins ist) sondern müsste eine Fallunterscheidung machen oder andere Intervallgrenzen finden, was recht umständlich ist, da bei a < 1 die k-ten Wurzeln größer als a sind, bei a > 1 dagegen kleiner usw. usf.
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