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Logarithmus Naturalis im Komplexen

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  1. Autor dieses Themas

    toolz

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    17:07, 3.2.2012
    Hallo!
    Wie berechnet man in Formel: ln(z) unter der Bedingung Formel: z\in\mathbb{C} das Formel: z?
    Der Google-Rechner spuckt mir für beliebige komplexe Zahlen irgendwelche Werte aus, aber ich komme einfach auf keine Idee, wie man das so umformt, dass am Ende ein einfach lösbarer Term dasteht.
    Unter der Annahme Formel: z = x + yi gilt ja Formel: \phi = acos(\frac{x}{|z|}) = asin(\frac{y}{|z|}) und Formel: z = |z| * e^\phi^i. Das bedeutet zwar, dass der Logarithmus in die Potenz der Expotentialfunktion geschrieben werden kann, allerdings sind da die störenden trigonometrischen Funktionen...

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  3. Autor dieses Themas

    toolz

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    toolz hat kostenlosen Webspace.

    17:39, 3.2.2012
    Das Problem ist doch, dass ich genau das nicht kann. Bei rein komplexen Anteilen wäre das in der Tat einfach auf den Logarithmus der reellen Zahlen zurückzuführen, nach der Art Formel: ln(yi) = ln(y) + \frac{\pi i}{2}. Allerdings darf man nicht vergessen, dass im Logarithmus so etwas steht: Formel: ln(x + yi) Damit wird das Ergebnis nicht trivial abhängig von x und y...

    Beitrag zuletzt geändert: 3.2.2012 17:40:51 von toolz

  4. darkpandemic

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    20:04, 3.2.2012
    Hallo toolz,

    es gilt:
    Formel: \log(x+iy) =\log(\sqrt{x^2+y^2}) + i\text{ atan2}(y,x)
    wobei atan2() das folgende ist:
    http://en.wikipedia.org/wiki/Atan2

    Edit: einen log() vergessen ;-)

    Beitrag zuletzt geändert: 3.2.2012 20:18:49 von darkpandemic

  5. bettcrew

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    21:54, 6.2.2012
    Du musst bedenken, dass der natürliche Logarithmus im komplexen nicht eindeutig ist:

    Sind Formel: w,z\in \mathbb{C}, sodass die Gleichung Formel: e^z = w erfüllt ist, dann gilt auch Formel: e^{z'} = w mit Formel: z'=z+2ki\pi,\, k\in\mathbb{Z}.

  6. onondive

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    14:55, 21.2.2012
    die sache ist doch eigentlich ganz "straight forward" (worauf sicher auch ttobsen mit seinem kryptischen Kommentar anspielt:)
    Für z = |z|*exp(i phi +2i n pi) :

    ln(z)=ln(z*exp(i phi +2i n pi)=... log eines Produktes ist Summe der logs der Faktoren...=ln(|z|) + ln(exp(i*phi+2i n pi) = ln(|z|) + i*phi+2i n pi=...n=0 für das Arg(z), den ersten Winkel ...= ln(|z|) + i*phi

    Hast du nur z = x+iy, dann verwende |z| = sqrt(x²+y²) und phi = atan(y/x)

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