Flächenberechnung
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mhm... welche klasse ist das?
Hab ich lange nichtmehr gemacht sowas. Aber mal schauen.
Wir wissen, dass der winkel oben 90Grad ist. Also ist ers unten auch.
Ganz unten links haben wir einen 2 Winkel: Auch 90Grad (wenn wir ein Quadrat haben (nehme ich einfach mal an.
Was uns weiter bringt sind die 4cm nach oben und die 3cm nach rechts. Denn:
tan alpha = Gegenkathete / Ankathete.
alpha = 53,13Grad
dann ist der 2 Winkel also 36.86 Grad
durch a² = b^2 + c^2 erhälst du die 5. Den Rest solltest du selber rausbekommen oder?
Ansonsten zeig danach einfach mal die Werte, die du weiter gemacht hast...
http://raubritta.lima-city.de/aufgabe1.gif
(zum 2: dort weiß ich leider nicht mehr die Formeln. War glaube ich irgendwas von Phytagoras oder?)
Naja, sag dann, wie weit du kommst ;) -
Aufg. 1:
Die Gerade die schräg nach oben verläuft nennen wir g(x), die schräg nach unten verläuft nennen wir h(x).
Der Gesuchte Flächeninhalt ist das Integral von g(x) auf dem Intervall 0 bis 4 minus das Integral von h(x) auf dem Intervall von 0 bis 3.
Der Punkt P(3/0) liegt auf der Geraden g(x).
Der Punkt Q(4/4) liegt auf der Geraden h(x).
Die Steigung von g(x) ist -4/3.
Ergo ist g(x) = -4/3x + 4
Da g(x) im rechten Winkel auf h(x) steht ist die Steigung von h(x) 1/m = 3/4.
Ergo ist h(x) = 3/4 + 1
Nun die Integrale bestimmen auf den obenstehenden Intervallen und h(x) von g(x) subtrahieren.
Aufg. 2:
Der Winkel oben beträgt 90°, da ist halt so. ^^
Liegt an daran, dass der Kreis durch alle drei Eckpunkte des Dreieckes geht, dann ist es ein rechtwinkeliges Dreieck.
h² = p*q
p = 3; q = 1
h = +/- sqrt (3)
Wäre vllt ein Anfang, wobei ich mir ziemlich sicher bin, dass es dafür irgendeine \"Zauberformel\" gäbe. Gerade weil das Verhältnis 3/4 zu 1/4 ist.
Beitrag geändert: 19.4.2008 22:25:49 von lucas9991 -
wow, lucas^^ man kanns auch kompliziert erklären^^
--> das ist ja fast Lehrerdeutsch^^
Ich hab fast nur Bahnhof verstanden bei dir.
(mir fällt gerade auf, dass es das erste freiwille Mathe machen seit
2-3 Jahren war^^)
-
wow, lucas^^ man kanns auch kompliziert erklären^^
--> das ist ja fast Lehrerdeutsch^^
Ich hab fast nur Bahnhof verstanden bei dir.
(mir fällt gerade auf, dass es das erste freiwille Mathe machen seit
2-3 Jahren war^^)
Ich habe am Dienstag meine Mathe LK Abiturklausur geschrieben. :P
Der Vorteil bei meinem Vorgehen ist, dass ich keine gerundeten Zahlen habe. :-)
Man braucht aber Oberstufenmathematik. -
Der Winkel oben beträgt 90°, da ist halt so. ^^
Liegt an daran, dass der Kreis durch alle drei Eckpunkte des Dreieckes geht, dann ist es ein rechtwinkeliges Dreieck.
h² = p*q
p = 3; q = 1
h = +/- sqrt (3)
Wäre vllt ein Anfang, wobei ich mir ziemlich sicher bin, dass es dafür irgendeine \"Zauberformel\" gäbe. Gerade weil das Verhältnis 3/4 zu 1/4 ist.
Beitrag geändert: 19.4.2008 22:25:49 von lucas9991
Genau bis dahin bin ich auch gekommen. Aber weiter fällt mir nicht wirklich ne Formel ein.
€: Ah, ich habs:
r = 2
h = sqrt(3)
Wenn man eine Linie von M zu dem oberen Punkt von h zieht, hat man ein rechtwinkliges Dreieck und kann den Winkel an M berechnen. Dann machen man 180° minus diesen Winkel und rechnet dann:
(r^2):2*((pi*winkel):180^-sin(winkel))
Also dann:
2*((pi*winkel):180^-sin(winkel))
Den Winkel war ich aber zu faul auszurechnen
Beitrag geändert: 19.4.2008 22:42:09 von nikic -
jo, ich bin in der 11 Klasse. Dort haben wir noch nichts davon gemacht...
ist halt einfach wiederholung aus der 9^^ -
Die Aufgabe mit dem Kreis:
Hier stellen wir zunächst fest, es handelt sich um ein Thaleskreis handelt.
Dementsprechend ist es ein Rechtwinkliges Dreieck.
Über den Höhensatz des Euklid
h²=p*q oder h = sqrt(p*q) erhalten wir die Höhe von sqrt(3).
Mittels Satz des Phytagorras können wir jetzt die Fläche der beiden Dreiecken ausrechnen:
A_1=sqrt(4²+3) = 4.358898944
A_2=sqrt(1+3) = 2
JETZT... addieren wir aber nicht diese beiden dreiecken, sondern wir ziehen das Kleinere vom größeren ab!
A_x=2.358898944
Wieso? Dann erhalten wir die Fläche des Dreieckes
welches einen Punkt am unteren Rand hat, einen Punkt auf dem Mittelpunkt des Kreises und einen Punkt der früher die Höhe war.
Jetzt berechnen wir den Kreisausschnitt von welchem wir das 3-Eck abziehen werden:
Die Fläche des Gesammten Kreises ist
2pi*r^2 = 25.13274123
Das Ordnen wir für einen 3-Satz dem Winkel 360 zu.
360 ~ 25.13274123
jetzt brauchen wir noch den Winkel den das kleinere 3-Eck nach außen hatte:
Diesen berechnen wir mittels
des Tangenssatzes:
Ankathete/Gegenkathete.
Die Ankathete beträgt 1. Die gegenKathete ist die Höhe, sqrt(3)
Jetzt schaff ich das mit meinem schlechten Rechner hier nicht.
Der hat keine Tangensfunktion :( also weise ich das jetzt dem Wert t zu, und erkläre damit weiter.
180-t ist der Winkel des Kreisausschnittes den wir benötigen.
Also weiter beim 3-Satz:
180-t ~ x
jetzt stellen wir auf:
360/(180-y) = t
25.13274123/x = t |*x, /t
25.13274123/t = x
x entspricht jetzt der Fläche des Kreisausschnittes.
Von diesem müssen wir jetzt noch die Fläches des 3ecks
A_x = 2.358898944 abziehen, und erhalten die Fläche des Roten bereiches!
Auf wunsch werden auch noch Skizzen hochgeladen!
Beitrag geändert: 20.4.2008 3:06:20 von frodo89 -
Vielen Dank erstmal für eure Hilfe!! Das mit Tangens usw haben wir aber noch nicht gemacht, das ist 9 Klasse. Tut mir leid, hab ich vergessen zu sagen.
Also es kam grad der Höhensatz dran, den wird man denk ich benutzen müssen.
Ich hab noch Buchstaben rangemacht, damit wir uns besser unterhalten können ;)
raubritta schrieb:
geht mir genauso
wow, lucas^^ man kanns auch kompliziert erklären^^
--> das ist ja fast Lehrerdeutsch^^
Ich hab fast nur Bahnhof verstanden bei dir.
(mir fällt gerade auf, dass es das erste freiwille Mathe machen seit
2-3 Jahren war^^)
lucas9991 schrieb:
Aufg. 1:
Die Gerade die schräg nach oben verläuft nennen wir g(x), die schräg nach unten verläuft nennen wir h(x).
Der Gesuchte Flächeninhalt ist das Integral von g(x) auf dem Intervall 0 bis 4 minus das Integral von h(x) auf dem Intervall von 0 bis 3.
Der Punkt P(3/0) liegt auf der Geraden g(x).
Der Punkt Q(4/4) liegt auf der Geraden h(x).
Die Steigung von g(x) ist -4/3.
Ergo ist g(x) = -4/3x + 4
Da g(x) im rechten Winkel auf h(x) steht ist die Steigung von h(x) 1/m = 3/4.
Ergo ist h(x) = 3/4 + 1
Nun die Integrale bestimmen auf den obenstehenden Intervallen und h(x) von g(x) subtrahieren.
sowas haben wir noch nicht gemacht
Aufg. 2:
ich hab mir noch überlegt: Der Mittelpunkt M vom Kreis ist noch 1 cm von D entfernt, also krieg ich über den Pythagoras für die Strecke MC 2 cm, genauso wie für die Strecke BC 2 cm, also ist das Dreieck MBC ein gleichseitiges Dreieck, dann ist der Winkel CMB 60° und der Winkel AMC 120°. Also ist die rote Fläche 1/3 pi * 4 minus der Fläche vom Dreieck AMC.
Der Winkel oben beträgt 90°, da ist halt so. ^^
Liegt an daran, dass der Kreis durch alle drei Eckpunkte des Dreieckes geht, dann ist es ein rechtwinkeliges Dreieck.
h² = p*q
p = 3; q = 1
h = +/- sqrt (3)
Wäre vllt ein Anfang, wobei ich mir ziemlich sicher bin, dass es dafür irgendeine \\\'Zauberformel\\\' gäbe. Gerade weil das Verhältnis 3/4 zu 1/4 ist.
Beitrag geändert: 19.4.2008 22:25:49 von lucas9991
Die fläche vom Dreieck AMC ist die Fläche vom Dreieck ADC minus die Fläche vom Dreieck MDC, damit bekomme ich:
1/2 * 3 * Wurzel 3 - 1/2 * 1 * Wurzel 3 = Wurzel 3
Und der Inhalt der roten Fläche ist 4/3 pi - Wurzel 3 = 2,46 ist das so richtig?A_1=sqrt(4²+3) = 4.358898944
Würd ich auch so sehen aber hast du nicht oben nur die Seiten ausgerechnet statt den Flächen?
A_2=sqrt(1+3) = 2
JETZT... addieren wir aber nicht diese beiden dreiecken, sondern wir ziehen das Kleinere vom größeren ab!
A_x=2.358898944
Wieso? Dann erhalten wir die Fläche des Dreieckes
welches einen Punkt am unteren Rand hat, einen Punkt auf dem Mittelpunkt des Kreises und einen Punkt der früher die Höhe war.!
Hat noch jemand eine Idee zur ersten Aufgabe???
Aber bitte so dass ich verstehen kann, nicht so wie die Lösung von lucas ;) -
Hat noch jemand eine Idee zur ersten Aufgabe???
Aber bitte so dass ich verstehen kann, nicht so wie die Lösung von lucas ;)
Also ich fand die Lösung von Lucas am leichtesten. Zumindest am kürzesten und in diesem Fall auch am leichtesten. -
nikic schrieb:
Ich bin halt in der Neunten und sowas wie Integrale haben wir noch nicht gemacht.
Hat noch jemand eine Idee zur ersten Aufgabe???
Aber bitte so dass ich verstehen kann, nicht so wie die Lösung von lucas ;)
Also ich fand die Lösung von Lucas am leichtesten. Zumindest am kürzesten und in diesem Fall auch am leichtesten. -
@adriana-lima:
Deine Lösung zu Aufg. 1 sieht richtig aus, habe jetzt nicht nachgerechnet, aber vom Prinzip her richtig.
Mhh, in welchem Bundesland wohnst du denn? Vllt Bayern? ^^
Denn solche Aufgaben hatten wir soweit ich mich erinnern kann nicht in der neunten Klasse. Oo
Zu Aufg. 2:
Teilen wir die Fläche zuerst in zwei rechtwinkelige Dreiecke - FBC und EFC - ein.
Dreieck FBC:
FB = 1cm
BC = 4cm
Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
FB²+BC² = FC²
<=> FC = sqrt (17)
Dreieck EFC:
Die Strecke FE ist die Hälfte der Strecke FD.
Liegt darin begründet, dass wenn man das Quadrat (das 4x4) um 1cm nach links und um 1cm nach unten verschieben würde, dann gehen beide Geraden jeweils durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte eines Qudrates und sie schneiden sich im 90° Winkel.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
AD²+AF² = FD²
<=> FD = 5
FE = 1/2*FD = 2,5
EC²+FE² = FC²
<=> EC²+ (2,5)² = 17
<=> EC = sqrt (10,75)
Mit den Werten solltest du jetzt den Flächeninhalt ausrechnen können.
MfG Lucas -
Hat noch jemand eine Idee zur ersten Aufgabe?
hast du dir meinen beitrag und die skizze überhaupt angeschaut?
Wenn ja, wie weit bist du dort?
Also in Hessen wird das im Gymnasium in der 8-9 Durchgenommen...
Das heißt G8 dürfte es gar in der 7-8 gehabt haben ;) -
raubritta schrieb:
Ja, ich hab ihn mir angeschaut, verstanden hab ich davon nix, aber trotzdem vielen Dank für deine Mühe.
Hat noch jemand eine Idee zur ersten Aufgabe?
hast du dir meinen beitrag und die skizze überhaupt angeschaut?
Wenn ja, wie weit bist du dort?
Also in Hessen wird das im Gymnasium in der 8-9 Durchgenommen...
Das heißt G8 dürfte es gar in der 7-8 gehabt haben ;)
Denn wir haben mit Sinus, Kosinus und Tangens wirklich noch nichts gemacht, das könnt ihr mir schon glauben, das hätte ich mitgekriegt!!!Die Strecke FE ist die Hälfte der Strecke FD.
Das verstehe ich jetzt nicht, wenn FE wirklich die Hälfte von FD wäre, dann müsste das Dreieck DFC gleichschenklig sein, aber das ist nicht möglich.
Liegt darin begründet, dass wenn man das Quadrat (das 4x4) um 1cm nach links und um 1cm nach unten verschieben würde, dann gehen beide Geraden jeweils durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte eines Qudrates und sie schneiden sich im 90° Winkel.
-
oh mein Gott... Stimmt - das sind nur die Seiten... die Flächen gehen ja noch einfacher hr hr...
Also:
Wir wissen:
Höhe h = sqrt(3cm)
Strecke
l_1 = 3 cm
l_2 = 1 cm
Fläche
A_1 = (3*sqrt(3))/2
A_2 = (sqrt(3))/2
A_x = ((3*sqrt(3))/2)-((sqrt(3))/2)
Da das 3eck
2A_2 wie du sagtest ein Gleichseitiges Dreieck ergibt ist Winkel %alpha
60°
Der Kreisausschnitt den wir suchen hat also noch 120°
Also teilen wir die Fläche des Kreises
2%pi*4 durch 3 und subtrahieren die Fläche des Dreiecks A_x! -
[...]
Die Strecke FE ist die Hälfte der Strecke FD.
Das verstehe ich jetzt nicht, wenn FE wirklich die Hälfte von FD wäre, dann müsste das Dreieck DFC gleichschenklig sein, aber das ist nicht möglich.
Liegt darin begründet, dass wenn man das Quadrat (das 4x4) um 1cm nach links und um 1cm nach unten verschieben würde, dann gehen beide Geraden jeweils durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte eines Qudrates und sie schneiden sich im 90° Winkel.
Warum muss es denn gleichschenklig sein? -
Aufgabe 1 ist einfach, wenn ich jetzt nicht ganz bescheuert bin...
Lösung: Strahlensatz.
Gegeben ist:
Winkel ADF = DCE
Wir behandeln jetzt das Dreieck
ADF und das Dreieck DCE seperat und legen sie übereinander.
Wir die Punkte des ersten Dreiecks bleiben gleich benannt.
aus dem Dreieck DCE wird D jedoch auf die Gerade DF gelegt, und wäre somit doppel definiert.
Wir nennen es also G
Währenddessen legen wir C auf D, und lassen C wegfallen.
Damit ist also die Strecke CD jetzt DG = 4 cm
Der Punkt E liegt jetzt auf der Strecke DA
DA beträgt 4 cm.
Laut dem Strahlensatz verhält sich DF zu DG wie DA zu DE
Dem entsprechend erhalten wir die Strecke DE = 3.2 cm.
Wir benötigen jetzt noch die Strecke EG.
Diese erhalten wir mittel Satz des Pythagorras.
sqrt(4^2-3.2^2) = 2.4
EG ist also 2.4 cm.
Damit ist die Fläche des Dreiecks DEC = DEG
A_DEC = (2.4*3)/2 = 3.6 cm²
Die Fläche des Dreiecks DAF
A_DAF = (4*3)/2 = 6cm²
Damit können wir jetzt die rote Fläche berechnen.
Das ergebnis
A_ROT = 4²-6-3.6 = 6.4 cm²
Auch hier kann ich noch Skizzen anfertigen! -
Echt wahnsinn, wie viele unterschiedliche lösungsmöglichkeiten es gibt. Und wie unterschiedlich (je nach Klasse..) man das löst.
@adriana: wenn du mit deinen Formeln immernoch nicht weiter kommst müsstest du uns deine Formeln schon geben ;) -
Warum muss es denn gleichschenklig sein?
Naja, wenn die Höhe die gegenüberliegende Seite halbiert, dann ist das Dreieck symmetrisch. Die Höhe ist die Symmetrieachse also ist es gleichschenklig.
nach längerem überlegen bin ich noch auf diese Idee gekommen:
Die Gerade durch EC schneidet die Seite AD genau 1 cm über A.
Strahlensatz: Die Höhe des Dreiecks DCE verhält sich zu p (das ist die Strecke vom Fusspunkt der Höhe nach C) wie 3:4
h:p = 3:4
h = 3/4 * p
Nach dem Höhensatz gilt p*q = h*h, also p*(4 - p) = h*h
mit p = 4/3 h eingesetzt gibt das:
4/3 h (4 - 4/3 h) = h*h
4/3 (4 - 4/3 h) = h
16/3 - 16/9 h = h
16/3 = 25/9 h
h = 48/25
Damit ist die Fläche des Dreiecks ADF gleich 3,84. Die rote Fläche ist dann 16 - 6 - 3,84 = 6,16 argh schon wieder was anderes.
Ok, dass das Dreieck ADF die verkleinerte Version vom Dreieck DCE ist, verstehe ich noch aber beim Rest komm ich nicht mehr mit. Was ist nochmal G?
Wir behandeln jetzt das Dreieck
ADF und das Dreieck DCE seperat und legen sie übereinander.
Wir die Punkte des ersten Dreiecks bleiben gleich benannt.
aus dem Dreieck DCE wird D jedoch auf die Gerade DF gelegt, und wäre somit doppel definiert.
Wir nennen es also G
Währenddessen legen wir C auf D, und lassen C wegfallen.
Damit ist also die Strecke CD jetzt DG = 4 cm
Der Punkt E liegt jetzt auf der Strecke DA
DA beträgt 4 cm.
Laut dem Strahlensatz verhält sich DF zu DG wie DA zu DE
-
also bei der Aufgabe 1 bin ich auf das gleiche resultat gekommen wie du.
Auch 6.16 cm^2.
edit:
bei der zweiten aufgabe komme ich auf 2.4567... cm^2
ich erkläre es dir auch gerne (von mir aus auf 4 verschiedene arten ;) [geben übrigens alle das gleiche])
gruss johannes
Beitrag geändert: 22.4.2008 19:08:26 von joma93 -
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