mathe -> beweisen *grml*
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ansatz
beweis
beweisen
eins
folgende aussagen
folgender formel
gau
gaus
gewiheit
hilfe
induktion
letzte
los
sen
summen
teilbar ausnahmen
teiler
verstehe
zahlenreihe
ziffer
-
hiiiiiiiiilfe!!
m?sste eigentlich ziemlich einfach sein, aber ich kann mich kein bisschen darauf konzentrieren - wie bewiest man folgende aussagen:
1^3 + 2^3 + 3^3 + ... n^3 = (n(n+1) : 2) ^2
und
4 ist ein Teiler von 5^n + 7
danke!!!! -
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Beim Ersten k?nntest Du zeigen, dass
((n(n+1) : 2) ^2)+ (n+1)^3 = ((n+1)(n+2):2)^2 ist (vollst?ndige Induktion)
-
Hi
Da ich gleich los mu? kann ich jetzt nicht die vollst?ndige Herleitung versuchen zu machen.
Kleiner Tipp:
http://de.wikipedia.org/wiki/Summe
Gauss hatte einmal entdeckt das die Summer von Zahlen in einer Reihe sich mit folgender Formel ganz leicht addieren lassen:
(n*(n+1)) / 2 = Summe der Zahlenreihe
Dies ist nichts anderes als die Wurzel aus deiner Formel. Wenn ich sp?ter daheim bin mach ich mich da mal ran.
Gru? Tobi -
Ein Ansatz(?):
Eine Zahl ist durch 5^n teilbar genau dann, wenn die Zahl, die aus ihren letzten n Ziffern gebildet wird, durch 5^n teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 4 teilbar genau dann, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 4 teilbar ist.
http://de.wikipedia.org/wiki/Gau?sche_Summenformel
http://de.wikipedia.org/wiki/Folge_(Mathematik)#Wichtige_Folgen
http://de.wikipedia.org/wiki/Teilbarkeit
-
F?r das zweite Problem ist der Ansatz wesentlich einfacher. 5^n hat immer als letzte 2 Ziffern immer eine 25. Und 25 + 7 ist immer durch 4 teilbar. Ausnahmen sind hier 5^0 und 5^1. Diese beide Sonderf?lle k?nnen aber von Hand nachgepr?ft werden.
Gru? Tobi -
@ ttobsen:
Das ist zwar richtig, aber noch kein Beweis.
Ein Beweis w?re, zu zeigen, dass es f?r n+1 genauso gilt wie f?r n. -
jeanbier schrieb:
@ ttobsen:
Das ist zwar richtig, aber noch kein Beweis.
Ein Beweis w?re, zu zeigen, dass es f?r n+1 genauso gilt wie f?r n.
Aber eins verstehe ich da noch nicht so ganz. Wenn das ganze f?r n sowie f?r n+1 giltet, woher hat man die Gewissheit das es auch f?r n+2, bis n+x giltet?
Gru? Tobi -
jeanbier schrieb:
@ ttobsen:
Das ist zwar richtig, aber noch kein Beweis.
Ein Beweis w?re, zu zeigen, dass es f?r n+1 genauso gilt wie f?r n.
Aber eins verstehe ich da noch nicht so ganz. Wenn das ganze f?r n sowie f?r n+1 giltet, woher hat man die Gewissheit das es auch f?r n+2, bis n+x giltet?
Gru? Tobi
Das mit dem n+1 ist ist nur eine M?glichkeit f?r einen Beweis. Bei dieser M?glichkeit zeigst Du, dass es f?r die darauffolgende Zahl genauso gilt wie f?r irgendeine Zahl. So habe ich das bei meinem Ansatz zum ersten Problem gemacht. Das ganze Zeug sollte man eigentlich nur noch ausmultiplizieren m?ssen, dann ist gut.
Wenn es f?r ein n+1 genauso gilt wie f?r ein n, kannst Du das n+1 als n annehmen, und n+2 ist dementsprechend dann das n+1.
PS @TT: Ich glaube, das G?rkchen will gar keine Hilfe mehr, es schreibt zumindest nicht. Und l?sche bitte meinen Beitrag ?ber diesem.
-
doch - sorry - brauch immer noch hilfe (auch wenn mir nicht zu helfen ist,...)
ich bin da mitten im umstellen h?ngen geblieben - entweder ich hab was falsch gemacht, oder hab einfach keinen plan, wie weiter. ich hab das so gerechnet:
1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 + (n+1)^3
(n(n+1) / 2)^2 + (n+1)^3 [einsetzen der induktionsvoraussetzung]
(n^4 + 2n^3 + n^2) / 4 + n^3 + 3n^2 + 3n + 1 [klammern aufl?sen/ausmultiplizieren]
(n^4 + 2n^3 + n^2 + 4n^3 + 12n^2 + 12n + 4) / 4 [bruch erweitern]
((n^4 + 4n^3 + 6n^2 +4n + 1) + (2n^3 + 7n^2 + 8n + 3)) / 4
[zusammenfassen]
((n+1)^4 + 2n^3 + 7n^2 + 8n + 3) / 4
uuund da bin ich h?ngen gelblieben -.-
zum schluss muss ja (((n+1)(n+2))/2)^2 rauskommen
(muss beides mit vollst?ndiger induktion bewiesen werden) -
1^3 + 2^3 + 3^3 + ... n^3 = (n(n+1) : 2) ^2
Induktionsanfang: n=1 (GANZ wichtig, nie vergessen)
1^3=(1*(1+1)/2)^2
1=(1*2/2)^2=1 passt
n=2
1^3+2^3=1+8=9 =(2*3/2)^2 passt
Induktionsschritt: n=n+2
((n+1)(n+2)/2)^2 + (n+2)^3 = ((n^2+3n+2)/2)^2 + n^3 + 6*n^2 + 12*n + 8
= 1/4 (n^4 + 6n^3+13n^2+12n+4) + 1/4 (4n^3+24n^2+48n+32)=
1/4 (n^4 + 10n^3+37n^2+60n+36)
so, das sieht jetzt vlt h?sslich aus, aber, wir m?ssen hier hin:
((n+2)*(n+3):2)^2 = (n^2+5n+6)^2*1/4 =( n^4+10n^3+37n^2+60n+36)*1/4
tadaaaaa
zwei Schritte ist immer wieder ein sch?ner Trick bei solchen Sachen Und r?ckw?rts beweisen
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1^3 + 2^3 + 3^3 + ... n^3 = (n(n+1) : 2) ^2
Induktionsanfang: n=1 (GANZ wichtig, nie vergessen)
1^3=(1*(1+1)/2)^2
1=(1*2/2)^2=1 passt
n=2
1^3+2^3=1+8=9 =(2*3/2)^2 passt
Induktionsschritt: n=n+2
((n+1)(n+2)/2)^2 + (n+2)^3 = ((n^2+3n+2)/2)^2 + n^3 + 6*n^2 + 12*n + 8
= 1/4 (n^4 + 6n^3+13n^2+12n+4) + 1/4 (4n^3+24n^2+48n+32)=
1/4 (n^4 + 10n^3+37n^2+60n+36)
so, das sieht jetzt vlt h?sslich aus, aber, wir m?ssen hier hin:
((n+2)*(n+3):2)^2 = (n^2+5n+6)^2*1/4 =( n^4+10n^3+37n^2+60n+36)*1/4
tadaaaaa
zwei Schritte ist immer wieder ein sch?ner Trick bei solchen Sachen Und r?ckw?rts beweisen
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